Reel sayılar kümesinde tanımlanan bir işlem için ters elemanı bulmak, iki ana adımdan oluşur:
- Öncelikle, bu işlem için birim (etkisiz) elemanı bulmalıyız. Birim eleman $e$, herhangi bir $a$ elemanı için $a \nabla e = a$ ve $e \nabla a = a$ koşulunu sağlayan elemandır.
- Daha sonra, bulduğumuz birim elemanı kullanarak, 5'in ters elemanını bulacağız. 5'in ters elemanı $x$ olsun. Bu durumda $5 \nabla x = e$ koşulu sağlanmalıdır.
Şimdi adımları tek tek uygulayalım:
- 1. Adım: Birim (Etkisiz) Elemanı ($e$) Bulma
- Birim eleman tanımına göre, herhangi bir $a$ reel sayısı için $a \nabla e = a$ olmalıdır.
- Soruda verilen işlemin tanımını ($a \nabla b = a + b - ab$) bu eşitliğe uygulayalım:
- $a + e - ae = a$
- Denklemin her iki tarafından $a$'yı çıkaralım:
- $e - ae = 0$
- Şimdi $e$ terimini ortak paranteze alalım:
- $e(1 - a) = 0$
- Bu eşitliğin her $a$ reel sayısı için sağlanabilmesi için $e$'nin $0$ olması gerekir. (Çünkü $1-a$ ifadesi her zaman $0$ değildir, örneğin $a=2$ için $1-a = -1 \neq 0$ olur.)
- O halde, bu işlem için birim elemanımız $e = 0$'dır.
- 2. Adım: 5'in Ters Elemanını ($x$) Bulma
- 5'in ters elemanı $x$ olsun. Ters eleman tanımına göre, bir eleman ile tersinin işlemi birim elemanı vermelidir. Yani $5 \nabla x = e$ olmalıdır.
- Birinci adımda birim elemanı $e=0$ bulmuştuk. Bu durumda eşitliğimiz:
- $5 \nabla x = 0$
- Şimdi işlemin tanımını ($a \nabla b = a + b - ab$) bu eşitliğe uygulayalım:
- $5 + x - (5)(x) = 0$
- Denklemi düzenleyelim:
- $5 + x - 5x = 0$
- Benzer terimleri birleştirelim ($x - 5x = -4x$):
- $5 - 4x = 0$
- $-4x$'i denklemin sağ tarafına atalım:
- $5 = 4x$
- Her iki tarafı $4$'e bölelim:
- $x = \frac{5}{4}$
- Buna göre, 5'in ters elemanı $\frac{5}{4}$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
