A = {x | -4 < x ≤ 2, x ∈ R} ve B = {x | -1 ≤ x < 5, x ∈ R} kümeleri veriliyor. A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [-1, 2]
B) (-1, 2]
C) [-1, 2)
D) (-1, 2)
Verilen kümelerin kesişimini bulmak için adım adım ilerleyelim:
1. Kümeleri Aralık Notasyonuyla İfade Edelim:
$A = \{x | -4 < x \leq 2, x \in R\}$ kümesi, $x$'in $-4$'ten büyük ve $2$'ye eşit veya küçük olduğu tüm reel sayıları içerir. Bu, aralık notasyonunda $(-4, 2]$ şeklinde gösterilir.
$B = \{x | -1 \leq x < 5, x \in R\}$ kümesi, $x$'in $-1$'e eşit veya büyük ve $5$'ten küçük olduğu tüm reel sayıları içerir. Bu, aralık notasyonunda $[-1, 5)$ şeklinde gösterilir.
2. Kesişim ($A \cap B$) Kavramını Anlayalım:
İki kümenin kesişimi, her iki kümede de ortak olan elemanlardan oluşur. Yani, $A \cap B$ kümesi, hem $A$ kümesinin hem de $B$ kümesinin koşullarını aynı anda sağlayan $x$ değerlerini içerir.
Bu durumda, $x$ için şu iki koşulun aynı anda sağlanması gerekir:
$-4 < x \leq 2$ (A kümesinden) ve $-1 \leq x < 5$ (B kümesinden).
3. Kesişimin Alt Sınırını Bulalım:
$x$ değeri hem $-4$'ten büyük ($x > -4$) hem de $-1$'e eşit veya büyük ($x \geq -1$) olmalıdır.
Bu iki koşulu aynı anda sağlayan en küçük $x$ değeri $-1$'dir. Çünkü eğer $x \geq -1$ ise, otomatik olarak $x > -4$ koşulu da sağlanmış olur.
Dolayısıyla, kesişim kümesinin alt sınırı $-1$'dir ve bu sınır kümeye dahildir (kapalı aralık). Yani, $x \geq -1$.
4. Kesişimin Üst Sınırını Bulalım:
$x$ değeri hem $2$'ye eşit veya küçük ($x \leq 2$) hem de $5$'ten küçük ($x < 5$) olmalıdır.
Bu iki koşulu aynı anda sağlayan en büyük $x$ değeri $2$'dir. Çünkü eğer $x \leq 2$ ise, otomatik olarak $x < 5$ koşulu da sağlanmış olur.
Dolayısıyla, kesişim kümesinin üst sınırı $2$'dir ve bu sınır kümeye dahildir (kapalı aralık). Yani, $x \leq 2$.
5. Kesişim Kümesini Belirleyelim:
Yukarıdaki adımlara göre, $A \cap B$ kümesi, $x$'in $-1$'e eşit veya büyük ve $2$'ye eşit veya küçük olduğu tüm reel sayılardan oluşur.
Bu da $-1 \leq x \leq 2$ şeklinde ifade edilir.
Aralık notasyonunda bu, $[-1, 2]$ olarak yazılır.
