6. sınıf matematik çarpanlar ve katlar soru çözümü Test 2

Bir fabrikada üretilen 120 cm ve 150 cm uzunluğundaki demir çubuklar, hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta parçalara ayrılacaktır. Bir parçanın uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre, en az kaç parça elde edilir?

A) 9
B) 12
C) 15
D) 18

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, farklı uzunluktaki demir çubukları hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta parçalara ayırmamız ve toplamda en az kaç parça elde edeceğimizi bulmamız isteniyor. "En az parça" elde etmek için, her bir parçanın uzunluğunun "en büyük" olması gerektiğini unutmayın. Bu da bizi En Büyük Ortak Bölen (EBOB) kavramına götürür.

• Adım 1: Problemi Anlama ve Hedefi Belirleme

  Elimizde 120 cm ve 150 cm uzunluğunda iki demir çubuk var. Bu çubukları eşit uzunlukta parçalara ayıracağız ve hiç artmayacak. Bir parçanın uzunluğu bir tam sayı olmalı. En az sayıda parça elde etmek için, her bir parçanın uzunluğunun mümkün olan en büyük değeri alması gerekir. Bu da 120 ve 150 sayılarının En Büyük Ortak Böleni'ni (EBOB) bulmamız gerektiği anlamına gelir.

• Adım 2: 120 Sayısının Asal Çarpanlarını Bulma

  120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

  $120 = 2 \times 60$

  $60 = 2 \times 30$

  $30 = 2 \times 15$

  $15 = 3 \times 5$

  Yani, $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$.

• Adım 3: 150 Sayısının Asal Çarpanlarını Bulma

  Şimdi de 150 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

  $150 = 2 \times 75$

  $75 = 3 \times 25$

  $25 = 5 \times 5$

  Yani, $150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 2^1 \times 3^1 \times 5^2$.

• Adım 4: En Büyük Ortak Böleni (EBOB) Hesaplama

  EBOB'u bulmak için, her iki sayının asal çarpanlarındaki ortak olanları, üssü en küçük olanları alarak çarparız:

  $120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$

  $150 = 2^1 \times 3^1 \times 5^2$

  Ortak asal çarpanlar $2, 3, 5$'tir.

  $2$'nin en küçük üssü $2^1$ (yani $2$).

  $3$'ün en küçük üssü $3^1$ (yani $3$).

  $5$'in en küçük üssü $5^1$ (yani $5$).

  EBOB$(120, 150) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30$.

  Bu durumda, her bir parçanın uzunluğu 30 cm olmalıdır.

• Adım 5: 120 cm'lik Çubuktan Elde Edilecek Parça Sayısını Bulma

  120 cm uzunluğundaki çubuktan kaç parça elde edileceğini bulmak için toplam uzunluğu bir parçanın uzunluğuna böleriz:

  $120 \text{ cm} \div 30 \text{ cm/parça} = 4 \text{ parça}$.

• Adım 6: 150 cm'lik Çubuktan Elde Edilecek Parça Sayısını Bulma

  Benzer şekilde, 150 cm uzunluğundaki çubuktan kaç parça elde edileceğini bulalım:

  $150 \text{ cm} \div 30 \text{ cm/parça} = 5 \text{ parça}$.

• Adım 7: Toplam Parça Sayısını Hesaplama

  Elde edilen toplam parça sayısını bulmak için her iki çubuktan elde edilen parça sayılarını toplarız:

  $4 \text{ parça} + 5 \text{ parça} = 9 \text{ parça}$.

Böylece, en az 9 parça elde edileceğini bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.