Bu problem, üçgenlerde kenar uzunlukları, açılar ve çevrel çember arasındaki ilişkiyi açıklayan Sinüs Teoremi'ni kullanmamızı gerektiriyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Problemi Anlayalım: Bize bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı ($R = 10$ cm) ve üçgenin bir açısı ($A = 60^\circ$) verilmiş. Bu açının karşısındaki kenarın uzunluğunu ($a$) bulmamız isteniyor.
- 2. Sinüs Teoremini Hatırlayalım: Sinüs Teoremi, bir üçgenin kenarları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki oranı ve bu oranın çevrel çemberin çapına ($2R$) eşit olduğunu belirtir. Genel formülü şöyledir: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
- 3. Gerekli Formülü Seçelim: Bizim için $a$ kenarı, $A$ açısı ve $R$ yarıçapı önemli olduğundan, Sinüs Teoremi'nin $\frac{a}{\sin A} = 2R$ kısmını kullanacağız.
- 4. Formülü $a$ Kenarı İçin Düzenleyelim: Denklemi $a$ kenarını yalnız bırakacak şekilde düzenleyebiliriz: $a = 2R \sin A$.
- 5. Verilen Değerleri Yerine Yazalım: Bize çevrel çemberin yarıçapı $R = 10$ cm ve $A$ açısı $60^\circ$ olarak verilmiştir. Bu değerleri düzenlediğimiz formüle yerleştirelim: $a = 2 \times 10 \times \sin 60^\circ$.
- 6. $\sin 60^\circ$ Değerini Bulalım: Özel açılardan $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ olduğunu biliyoruz. Bu değeri denklemimize yerleştirelim.
- 7. Sonucu Hesaplayalım: Şimdi denklemi çözelim:
$a = 2 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a = 10\sqrt{3}$ cm.
Böylece $a$ kenarının uzunluğunu $10\sqrt{3}$ cm olarak buluruz.
Cevap C seçeneğidir.
