Bir üçgenin kenar uzunlukları 3 cm, 5 cm ve 7 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
A) (15√3)/4Kenar uzunlukları verilen bir üçgenin alanını hesaplamak için Heron formülünü kullanacağız. Bu yöntem, üçgenin kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ olduğunda, önce yarı çevreyi ($s$) bulup ardından alanı hesaplamamızı sağlar.
Bize verilen kenar uzunlukları şunlardır:
$a = 3$ cm
$b = 5$ cm
$c = 7$ cm
Üçgenin yarı çevresi ($s$), tüm kenar uzunluklarının toplamının yarısıdır:
$s = rac{a+b+c}{2}$
$s = rac{3+5+7}{2}$
$s = rac{15}{2}$ cm
Heron formülü ile alanı hesaplamak için $(s-a)$, $(s-b)$ ve $(s-c)$ değerlerini bulmamız gerekir:
$s-a = rac{15}{2} - 3 = rac{15}{2} - rac{6}{2} = rac{9}{2}$
$s-b = rac{15}{2} - 5 = rac{15}{2} - rac{10}{2} = rac{5}{2}$
$s-c = rac{15}{2} - 7 = rac{15}{2} - rac{14}{2} = rac{1}{2}$
Heron formülü şöyledir: Alan = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
Şimdi bulduğumuz tüm değerleri Heron formülünde yerine yazalım:
Alan = $\sqrt{ rac{15}{2} \times rac{9}{2} \times rac{5}{2} \times rac{1}{2}}$
Alan = $\sqrt{ rac{15 \times 9 \times 5 \times 1}{2 \times 2 \times 2 \times 2}}$
Alan = $\sqrt{ rac{675}{16}}$
Alan = $ rac{\sqrt{675}}{\sqrt{16}}$
Kök içindeki sayıyı sadeleştirelim: $\sqrt{675} = \sqrt{225 \times 3} = \sqrt{15^2 \times 3} = 15\sqrt{3}$
Son olarak, alanı bulalım:
Alan = $ rac{15\sqrt{3}}{4}$ cm²
Bu hesaplamalar sonucunda üçgenin alanı $ rac{15\sqrt{3}}{4}$ cm² olarak bulunur. Bu değer, seçeneklerde A şıkkına karşılık gelmektedir.
Cevap D seçeneğidir.
