🎓 10. Sınıf Ebob ve Ekok Özellikleri Test 3 - Ders Notu
Bu ders notu, 10. sınıf Ebob (En Büyük Ortak Bölen) ve Ekok (En Küçük Ortak Kat) konularındaki temel özellikleri ve bu özelliklerin problem çözümlerinde nasıl kullanıldığını anlamanıza yardımcı olacaktır. Özellikle Ebob ve Ekok arasındaki ilişkiler ve aralarında asal sayılarla ilgili bilgilere odaklanacağız.
📌 Ebob ve Ekok'un Temel Hatırlatması
Öncelikle Ebob ve Ekok'un ne anlama geldiğini kısaca hatırlayalım:
- Ebob (En Büyük Ortak Bölen): İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük pozitif tam sayıdır. Örneğin, 12 ve 18'in Ebob'u 6'dır.
- Ekok (En Küçük Ortak Kat): İki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçük pozitif tam sayıdır. Örneğin, 12 ve 18'in Ekok'u 36'dır.
💡 İpucu: Ebob genellikle "ayırma", "bölme", "gruplama" gibi durumlarda, Ekok ise "birleştirme", "buluşma", "ortak kat" gibi durumlarda kullanılır.
📌 İki Sayının Ebob ve Ekok'u Arasındaki İlişki
İki pozitif tam sayı için Ebob ve Ekok arasında çok önemli bir bağıntı vardır. Bu bağıntı, birçok problemi çözmede anahtar rol oynar:
- İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların Ebob'u ile Ekok'unun çarpımına eşittir. Yani, $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olmak üzere:
$a \cdot b = \text{Ebob}(a,b) \cdot \text{Ekok}(a,b)$
- Bu özellik sayesinde, iki sayıdan biri, Ebob ve Ekok biliniyorsa diğer sayı kolayca bulunabilir.
⚠️ Dikkat: Bu özellik sadece iki sayı için geçerlidir. Üç veya daha fazla sayı için genellikle bu bağıntı doğrudan kullanılmaz.
📌 Aralarında Asal Sayıların Ebob ve Ekok'u
Aralarında asal sayılar, Ebob ve Ekok konusunda özel bir yere sahiptir:
- Aralarında Asal Sayılar: 1'den başka ortak pozitif böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. Örneğin, 8 ve 15 aralarında asaldır (Ebob'ları 1'dir).
- Aralarında asal olan iki sayının Ebob'u daima 1'dir. Yani, $a$ ve $b$ aralarında asal ise $\text{Ebob}(a,b) = 1$ olur.
- Aralarında asal olan iki sayının Ekok'u ise bu sayıların çarpımına eşittir. Çünkü $\text{Ebob}(a,b) = 1$ olduğundan, $a \cdot b = 1 \cdot \text{Ekok}(a,b)$ bağıntısından $\text{Ekok}(a,b) = a \cdot b$ bulunur.
💡 İpucu: Bir problemde sayıların "aralarında asal" olduğu belirtiliyorsa, Ebob'larının 1 olduğunu ve Ekok'larının çarpımlarına eşit olduğunu hemen aklına getir!
📌 Ebob ve Ekok Problemlerinde Sıkça Karşılaşılan Durumlar
Ebob ve Ekok problemlerinde sayıları veya ilişkileri bulmak için kullanılan bazı yaygın yöntemler şunlardır:
- Eğer iki sayının Ebob'u $E$ ise, bu sayılar $a = E \cdot x$ ve $b = E \cdot y$ şeklinde yazılabilir. Burada $x$ ve $y$ sayıları mutlaka aralarında asal olmalıdır. Bu çok önemli bir özelliktir!
- Bu durumda, bu sayıların Ekok'u $\text{Ekok}(a,b) = E \cdot x \cdot y$ olur.
- Bu iki bağıntı kullanılarak, $a \cdot b = E \cdot x \cdot E \cdot y = E^2 \cdot x \cdot y$ ve $\text{Ebob}(a,b) \cdot \text{Ekok}(a,b) = E \cdot (E \cdot x \cdot y) = E^2 \cdot x \cdot y$ olduğu görülür. Böylece temel bağıntı doğrulanmış olur.
- Problemlerde genellikle sayıların toplamı, farkı, oranı veya Ekok'u verilir ve Ebob'ları istenir ya da tam tersi. Bu $a = E \cdot x$ ve $b = E \cdot y$ formülü bu tür problemleri çözmek için çok güçlü bir araçtır.
📝 Örnek: Ebob'u 5 olan iki sayının Ekok'u 60 ise, bu sayıların çarpımı kaçtır?
Çözüm: $a \cdot b = \text{Ebob}(a,b) \cdot \text{Ekok}(a,b)$ formülünden $a \cdot b = 5 \cdot 60 = 300$ bulunur.
Peki bu sayılar neler olabilir? $a=5x, b=5y$ ve $x,y$ aralarında asal.
$\text{Ekok}(a,b) = 5xy = 60 \implies xy = 12$.
Aralarında asal $x,y$ çiftleri: $(1,12)$ veya $(3,4)$.
Sayılar: $(5 \cdot 1, 5 \cdot 12) = (5, 60)$ veya $(5 \cdot 3, 5 \cdot 4) = (15, 20)$. Her iki durumda da çarpım 300'dür.
Bu ders notundaki bilgileri iyi kavrayarak "Ebob ve Ekok Özellikleri Test 3" testindeki soruları daha kolay çözebilirsin. Başarılar dilerim! 🚀
