Bir sınıftaki öğrencilerin matematik sınavından aldığı puanların standart sapması 5'tir. Öğretmen tüm puanlara 10 puan eklediğinde, yeni puanların standart sapması için ne söylenebilir?
A) Artar
B) Azalır
C) Değişmez
D) Önce artar sonra azalır
Bu soruda, standart sapmanın temel özelliklerinden birini anlamamız gerekiyor. Adım adım inceleyelim:
- Standart Sapma Nedir? Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını, yani verilerin ne kadar dağınık olduğunu gösteren bir ölçüdür. Kısacası, verilerin yayılımını veya değişkenliğini ifade eder. Yüksek standart sapma, verilerin ortalamadan daha dağınık olduğunu; düşük standart sapma ise verilerin ortalamaya daha yakın ve birbirine daha benzer olduğunu gösterir.
- Puanlara Sabit Bir Değer Eklemenin Etkisi: Sorumuzda, öğretmen tüm öğrencilerin puanlarına sabit bir değer olan 10 puan ekliyor. Bu durum, veri setindeki her bir değeri aynı miktarda yukarı kaydırmak anlamına gelir.
- Ortalama Üzerindeki Etki: Eğer her puana 10 eklersek, sınıfın yeni ortalaması da eski ortalamadan 10 puan daha yüksek olacaktır. Örneğin, eski ortalama 70 ise, yeni ortalama 80 olur.
- Verilerin Yayılımı Üzerindeki Etki: İşte kilit nokta burası! Standart sapma, her bir veri noktasının ortalamadan ne kadar saptığına bakar. Her puana 10 eklediğimizde, hem puanların kendisi hem de ortalama aynı miktarda (10 puan) artar. Bu durumda, her bir öğrencinin yeni puanının yeni ortalamadan farkı (sapması) değişmez.
- Matematiksel Açıklama: Diyelim ki bir öğrencinin eski puanı $x_i$ ve sınıfın eski ortalaması $\bar{x}$ olsun. Bu öğrencinin ortalamadan sapması $x_i - \bar{x}$'tir. Şimdi her puana 10 ekleyelim. Yeni puan $x_i' = x_i + 10$ olur. Yeni ortalama $\bar{x}' = \bar{x} + 10$ olur. Öğrencinin yeni ortalamadan sapması ise $(x_i + 10) - (\bar{x} + 10)$ olur. Bu ifadeyi düzenlersek, $x_i + 10 - \bar{x} - 10 = x_i - \bar{x}$ elde ederiz. Gördüğünüz gibi, her bir puanın ortalamadan sapması değişmedi.
- Sonuç: Standart sapma, bu sapmaların karelerinin ortalamasının karekökü olduğu için, sapmalar değişmediğinde standart sapma da değişmez. Veri setinin genel yayılımı veya dağınıklığı, tüm değerler aynı miktarda kaydırıldığında bozulmaz. Sadece veri setinin konumu değişir.
Bu nedenle, öğretmen tüm puanlara 10 puan eklediğinde, yeni puanların standart sapması değişmez.
Cevap C seçeneğidir.
