Sayı Kümelerinin Özellikleri ve Sıralama İlişkisi Test 2

a ve b birer tam sayı olmak üzere, a < 0 < b ve |a| > b koşulları sağlanmaktadır. Buna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

A) a < b < -a
B) b < a < -a
C) a < -a < b
D) b < -a < a

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen eşitsizlikleri ve mutlak değer bilgisini kullanarak $a$, $b$ ve $-a$ arasındaki doğru sıralamayı bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: İlk Koşulu İnceleyelim:

  Bize verilen ilk koşul $a < 0 < b$ şeklindedir. Bu ne anlama geliyor?

  • $a < 0$ demek, $a$ sayısının negatif bir tam sayı olduğu anlamına gelir. (Örneğin, $-1, -2, -3, \dots$)
  • $0 < b$ demek, $b$ sayısının pozitif bir tam sayı olduğu anlamına gelir. (Örneğin, $1, 2, 3, \dots$)

  Bu koşuldan hemen şunu anlayabiliriz: Negatif bir sayı olan $a$, pozitif bir sayı olan $b$'den küçüktür. Yani, $a < b$ eşitsizliği kesinlikle doğrudur.

• 2. Adım: $-a$ İfadesini Değerlendirelim:

  $a$ negatif bir sayı olduğuna göre, $-a$ nasıl bir sayı olur?

  • Eğer $a = -3$ ise, $-a = -(-3) = 3$ olur.
  • Eğer $a = -10$ ise, $-a = -(-10) = 10$ olur.

  Gördüğümüz gibi, $a$ negatif bir sayı iken, $-a$ her zaman pozitif bir sayı olacaktır. Dolayısıyla, $a$ negatif olduğu için $a < 0$ ve $-a$ pozitif olduğu için $0 < -a$ diyebiliriz. Bu durumda, $a < 0 < -a$ eşitsizliği de doğrudur.

• 3. Adım: İkinci Koşulu Kullanarak Sıralamayı Tamamlayalım:

  Bize verilen ikinci koşul $|a| > b$ şeklindedir. Mutlak değer neydi?

  • Bir sayının mutlak değeri, o sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve her zaman pozitif veya sıfırdır.
  • Eğer $x$ pozitifse, $|x| = x$.
  • Eğer $x$ negatifse, $|x| = -x$.

  Bizim durumumuzda $a$ negatif bir sayı olduğu için, $|a| = -a$ olacaktır. Şimdi bu bilgiyi $|a| > b$ koşulunda yerine yazalım:

  $|a| > b \Rightarrow -a > b$

  Bu eşitsizlik bize $b$ sayısının $-a$ sayısından küçük olduğunu söylüyor. Yani, $b < -a$ eşitsizliği doğrudur.

• 4. Adım: Tüm Bilgileri Birleştirelim:

  Şimdi elde ettiğimiz tüm doğru eşitsizlikleri bir araya getirelim:

  • $a < b$ (1. adımdan)
  • $b < -a$ (3. adımdan)

  Bu iki eşitsizliği birleştirdiğimizde, $a < b < -a$ sıralamasını elde ederiz.

• 5. Adım: Seçenekleri Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz $a < b < -a$ sıralaması, A seçeneğinde verilen sıralama ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.