Bu soruyu çözmek için, trigonometrik fonksiyonlar arasındaki temel ilişkileri ve ters trigonometrik fonksiyonların özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
- İfadeyi Anlayalım: Bize verilen ifade $\arcsin\left(\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)\right)$ şeklindedir. Bu, "kosinüsü $\frac{\pi}{7}$ olan açının sinüsü neye eşittir, ve bu sinüs değerini veren açı nedir?" anlamına gelir.
- Kosinüsü Sinüse Çevirme: Trigonometride çok önemli bir özdeşlik vardır: herhangi bir $\theta$ açısı için $\cos(\theta) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$'dir. Bu özdeşlik, bir açının kosinüsünün, o açının tümleri olan açının sinüsüne eşit olduğunu söyler.
- Özdeşliği Uygulayalım: İfademizdeki $\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)$ kısmını bu özdeşliği kullanarak sinüs cinsinden yazalım. Burada $\theta = \frac{\pi}{7}$'dir.
$\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}\right)$
- Parantez İçindeki İfadeyi Hesaplayalım: Şimdi $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}$ işlemini yapalım. Paydaları eşitlememiz gerekiyor:
$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7} = \frac{7\pi}{14} - \frac{2\pi}{14} = \frac{5\pi}{14}$
Yani, $\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{14}\right)$ olur.
- İfadeyi Yeniden Yazalım: Bulduğumuz bu değeri orijinal ifadeye yerine yazarsak:
$\arcsin\left(\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)\right) = \arcsin\left(\sin\left(\frac{5\pi}{14}\right)\right)$
- $\arcsin(\sin(x))$ Kuralını Uygulayalım: $\arcsin(\sin(x))$ ifadesi, $x$ açısı $\arcsin$ fonksiyonunun esas aralığı olan $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ (yani $\left[-90^\circ, 90^\circ\right]$) içinde ise $x$'e eşittir.
Buradaki açımız $\frac{5\pi}{14}$'tür. Bu açının esas aralıkta olup olmadığını kontrol edelim:
$\frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{14}$'tür.
Görüldüğü gibi $0 < \frac{5\pi}{14} < \frac{7\pi}{14}$ olduğundan, $\frac{5\pi}{14}$ açısı $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ aralığının içindedir.
- Sonucu Bulalım: Bu durumda, $\arcsin\left(\sin\left(\frac{5\pi}{14}\right)\right) = \frac{5\pi}{14}$ olur.
Cevap C seçeneğidir.
