10. Sınıf Trigonometrik Özdeşlikler Nelerdir? Test 1

\( \tan\theta \cdot \cot\theta = 1 \) özdeşliği için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

A) \( \theta = 45^\circ \)
B) \( \theta \) her reel sayı olabilir
C) \( \theta \neq k\cdot 90^\circ \) (k tam sayı)
D) \( \theta \) yalnızca dar açı olabilir

Bu soruyu çözerken trigonometrik fonksiyonların tanımlarını ve özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Özellikle tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının hangi açılarda tanımlı olduğuna dikkat etmeliyiz.

• Adım 1: \( \tan\theta \) ve \( \cot\theta \) fonksiyonlarının tanımlarını hatırlayalım.
  • \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \)
  • \( \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \)
• Adım 2: \( \tan\theta \cdot \cot\theta \) ifadesini tanımlarını kullanarak yazalım:

  \( \tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \)

• Adım 3: İfadenin sadeleşebilmesi için hem \( \sin\theta \) hem de \( \cos\theta \) sıfırdan farklı olmalıdır. Eğer \( \sin\theta = 0 \) veya \( \cos\theta = 0 \) olursa, ilgili fonksiyon tanımsız olur.
• Adım 4: \( \sin\theta \) ne zaman sıfır olur? \( \theta = k\cdot 180^\circ \) (k tam sayı) olduğunda.
• Adım 5: \( \cos\theta \) ne zaman sıfır olur? \( \theta = (2k+1)\cdot 90^\circ \) (k tam sayı) olduğunda.
• Adım 6: \( \tan\theta \cdot \cot\theta \) ifadesinin 1'e eşit olabilmesi için hem sinüsün hem de kosinüsün sıfırdan farklı olması gerekir. Bu da \( \theta \) açısının \( k\cdot 90^\circ \) şeklinde olmaması gerektiği anlamına gelir (çünkü bu durumda ya sinüs ya da kosinüs sıfır olur).
• Adım 7: Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
  • A) \( \theta = 45^\circ \) : Bu sadece bir örnektir, her zaman doğru değildir.
  • B) \( \theta \) her reel sayı olabilir: Yanlış, çünkü \( \tan\theta \) ve \( \cot\theta \) bazı açılarda tanımsızdır.
  • C) \( \theta \neq k\cdot 90^\circ \) (k tam sayı): Doğru, çünkü bu durumda \( \tan\theta \) ve \( \cot\theta \) tanımlıdır ve çarpımları 1'e eşittir.
  • D) \( \theta \) yalnızca dar açı olabilir: Yanlış, \( \theta \) geniş açı da olabilir, yeter ki \( k\cdot 90^\circ \) şeklinde olmasın.

Bu nedenle, \( \tan\theta \cdot \cot\theta = 1 \) özdeşliğinin her zaman doğru olması için \( \theta \) açısının \( k\cdot 90^\circ \) şeklinde olmaması gerekir.

Cevap C seçeneğidir.