10. Sınıf Trigonometrik Özdeşlikler Nelerdir? Test 1

\( \frac{1}{\sin^2\beta} = 1 + \cot^2\beta \) özdeşliğine göre, \( \cot\beta = \frac{1}{2} \) ise \( \sin\beta \)'nın pozitif değeri kaçtır?

A) \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)
B) \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)
C) \( \frac{\sqrt{5}}{2} \)
D) \( \frac{1}{2} \)

İşte adım adım çözüm:

• Adım 1: Verilen Özdeşliği Yazalım

  İlk olarak, soruda verilen trigonometrik özdeşliği yazalım:

  \( \frac{1}{\sin^2\beta} = 1 + \cot^2\beta \)

• Adım 2: \( \cot\beta \) Değerini Yerine Koyalım

  Bize \( \cot\beta = \frac{1}{2} \) olduğu verilmiş. Bu değeri özdeşlikte yerine koyalım:

  \( \frac{1}{\sin^2\beta} = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)

• Adım 3: Denklemi Basitleştirelim

  Şimdi denklemi basitleştirelim:

  \( \frac{1}{\sin^2\beta} = 1 + \frac{1}{4} \)

  \( \frac{1}{\sin^2\beta} = \frac{5}{4} \)

• Adım 4: \( \sin^2\beta \) Değerini Bulalım

  \( \sin^2\beta \) değerini bulmak için denklemin her iki tarafının tersini alalım:

  \( \sin^2\beta = \frac{4}{5} \)

• Adım 5: \( \sin\beta \) Değerini Bulalım

  \( \sin\beta \) değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım. Soruda pozitif değer istendiği için sadece pozitif karekökü alacağız:

  \( \sin\beta = \sqrt{\frac{4}{5}} \)

  \( \sin\beta = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} \)

  \( \sin\beta = \frac{2}{\sqrt{5}} \)

Cevap B seçeneğidir.