Öncelikle, bir bileşik önermenin totoloji olması ne anlama geliyor, bunu hatırlayalım. Bir bileşik önerme, içerdiği basit önermelerin doğruluk değerleri ne olursa olsun her zaman doğru sonuç veriyorsa, bu önermeye totoloji denir. Bizden istenen, totoloji olmayan seçeneği bulmaktır. Her bir seçeneği ayrı ayrı inceleyelim:
- A) $(p \rightarrow q) \vee (q \rightarrow p)$
Bu önerme, iki koşullu önermenin birleşimidir. Bu tür önermelere "karşılıklı koşul" da denir ve genellikle totolojiktir. İnceleyelim:
- Eğer $p$ doğru ($T$) ve $q$ doğru ($T$) ise: $(T \rightarrow T) \vee (T \rightarrow T) \equiv T \vee T \equiv T$
- Eğer $p$ doğru ($T$) ve $q$ yanlış ($F$) ise: $(T \rightarrow F) \vee (F \rightarrow T) \equiv F \vee T \equiv T$
- Eğer $p$ yanlış ($F$) ve $q$ doğru ($T$) ise: $(F \rightarrow T) \vee (T \rightarrow F) \equiv T \vee F \equiv T$
- Eğer $p$ yanlış ($F$) ve $q$ yanlış ($F$) ise: $(F \rightarrow F) \vee (F \rightarrow F) \equiv T \vee T \equiv T$
Gördüğümüz gibi, bu önerme her durumda doğru sonuç vermektedir. Dolayısıyla, A seçeneği bir totolojidir.
- B) $(p \wedge q) \rightarrow p$
Bu önerme, "eğer $p$ ve $q$ doğru ise, o zaman $p$ doğrudur" anlamına gelir. Bu, mantıkta çok temel bir çıkarım kuralıdır. Bir çıkarım önermesi, sadece öncül doğru ve sonuç yanlış olduğunda yanlış olur.
- Eğer öncül $(p \wedge q)$ doğru ise, bu ancak $p$ ve $q$ ikisi de doğru olduğunda mümkündür. Bu durumda sonuç $p$ de doğru olacağı için çıkarım $T \rightarrow T \equiv T$ olur.
- Eğer öncül $(p \wedge q)$ yanlış ise (yani $p$ yanlış veya $q$ yanlış veya ikisi de yanlış ise), çıkarımın öncülü yanlış olduğu için çıkarım her zaman doğru kabul edilir ($F \rightarrow \text{herhangi bir şey} \equiv T$).
Her durumda doğru sonuç verdiği için, B seçeneği bir totolojidir.
- C) $p \rightarrow (p \vee q)$
Bu önerme, "eğer $p$ doğru ise, o zaman $p$ veya $q$ doğrudur" anlamına gelir. Bu da mantıkta temel bir çıkarım kuralıdır.
- Eğer öncül $p$ doğru ($T$) ise, sonuç $(p \vee q)$ da $T \vee q$ olacağından her zaman doğru ($T$) olur. Bu durumda çıkarım $T \rightarrow T \equiv T$ olur.
- Eğer öncül $p$ yanlış ($F$) ise, çıkarımın öncülü yanlış olduğu için çıkarım her zaman doğru kabul edilir ($F \rightarrow \text{herhangi bir şey} \equiv T$).
Her durumda doğru sonuç verdiği için, C seçeneği bir totolojidir.
- D) $(p \vee q) \wedge \neg p$
Bu önerme, "($p$ veya $q$) ve ($p$'nin değili)" anlamına gelir. Bu önermenin totoloji olup olmadığını anlamak için doğruluk tablosunu inceleyelim:
- Eğer $p$ doğru ($T$) ve $q$ doğru ($T$) ise: $(T \vee T) \wedge \neg T \equiv T \wedge F \equiv F$ (Yanlış)
- Eğer $p$ doğru ($T$) ve $q$ yanlış ($F$) ise: $(T \vee F) \wedge \neg T \equiv T \wedge F \equiv F$ (Yanlış)
- Eğer $p$ yanlış ($F$) ve $q$ doğru ($T$) ise: $(F \vee T) \wedge \neg F \equiv T \wedge T \equiv T$ (Doğru)
- Eğer $p$ yanlış ($F$) ve $q$ yanlış ($F$) ise: $(F \vee F) \wedge \neg F \equiv F \wedge T \equiv F$ (Yanlış)
Gördüğümüz gibi, bu önerme her zaman doğru değildir. Örneğin, $p$ doğru olduğunda sonuç her zaman yanlış olmaktadır. Sadece $p$ yanlış ve $q$ doğru olduğunda doğru sonuç verir. Dolayısıyla, D seçeneği bir totoloji değildir.
Cevap D seçeneğidir.
