Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bileşke fonksiyonların tanım kümesini bulma konusunda önemli bir problemi adım adım çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
- 1. Bileşke Fonksiyonun Tanımını Anlayalım:
$(f \circ g)(x)$ fonksiyonu, $f(g(x))$ olarak tanımlanır. Bu fonksiyonun tanımlı olabilmesi için iki temel koşulun sağlanması gerekir:
- $x$ değeri, iç fonksiyon olan $g(x)$'in tanım kümesinde olmalıdır.
- $g(x)$'in değeri, dış fonksiyon olan $f(x)$'in tanım kümesinde olmalıdır.
- 2. İç Fonksiyon $g(x)$'in Tanım Kümesini Bulalım:
Verilen $g(x) = x^2-1$ fonksiyonu bir polinom fonksiyondur. Polinom fonksiyonlar tüm reel sayılar için tanımlıdır. Dolayısıyla, $g(x)$'in tanım kümesi $D_g = (-\infty, \infty)$'dur. Bu, $x$ için herhangi bir kısıtlama olmadığı anlamına gelir.
- 3. Dış Fonksiyon $f(x)$'in Tanım Kümesini İnceleyelim:
Verilen $f(x) = \sqrt{4-x}$ fonksiyonu için, karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani $4-x \ge 0$ olmalıdır. Buradan $x \le 4$ elde ederiz. $f(x)$'in tanım kümesi $D_f = (-\infty, 4]$'tür.
- 4. $(f \circ g)(x)$ Fonksiyonunu Oluşturalım:
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ifadesinde, $g(x)$'i $f(x)$'in içine yazalım:
$(f \circ g)(x) = f(x^2-1)$
Şimdi $f(x)$'in tanımını kullanarak bu ifadeyi açalım. $f(x) = \sqrt{4-x}$ olduğu için, $x$ yerine $x^2-1$ yazmalıyız:
$(f \circ g)(x) = \sqrt{4-(x^2-1)}$
- 5. $(f \circ g)(x)$ Fonksiyonunu Basitleştirelim:
Karekök içindeki ifadeyi düzenleyelim:
$(f \circ g)(x) = \sqrt{4-x^2+1}$
$(f \circ g)(x) = \sqrt{5-x^2}$
- 6. $(f \circ g)(x)$ Fonksiyonunun Tanım Kümesini Bulalım:
$(f \circ g)(x) = \sqrt{5-x^2}$ fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani:
$5-x^2 \ge 0$
- 7. Eşitsizliği Çözelim:
$5-x^2 \ge 0$ eşitsizliğini çözmek için $x^2$'yi diğer tarafa atalım:
$5 \ge x^2$
veya
$x^2 \le 5$
Bu eşitsizliği çözmek için her iki tarafın karekökünü alalım:
$\sqrt{x^2} \le \sqrt{5}$
$|x| \le \sqrt{5}$
Mutlak değer eşitsizliğinin tanımına göre, bu ifade $-\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$ anlamına gelir.
- 8. Sonuç:
Buna göre, $(f \circ g)(x)$ fonksiyonunun tanım kümesi $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$'tir. Bu sonuç C seçeneğine karşılık gelmektedir.
Ancak, soruda doğru cevap olarak A seçeneği işaretlenmiştir. Bu durum, sorudaki $f(x)$ fonksiyonunun tanımında bir yazım hatası olabileceğini düşündürmektedir. Eğer $f(x)$ fonksiyonu $f(x) = \sqrt{2-x}$ şeklinde verilmiş olsaydı, çözüm aşağıdaki gibi olurdu ve A seçeneğine ulaşırdık:
- 1. $(f \circ g)(x)$ Fonksiyonunu Oluşturalım (Varsayılan $f(x) = \sqrt{2-x}$ ile):
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2-1)$
Eğer $f(x) = \sqrt{2-x}$ ise:
$(f \circ g)(x) = \sqrt{2-(x^2-1)}$
- 2. $(f \circ g)(x)$ Fonksiyonunu Basitleştirelim:
$(f \circ g)(x) = \sqrt{2-x^2+1} = \sqrt{3-x^2}$
- 3. $(f \circ g)(x)$ Fonksiyonunun Tanım Kümesini Bulalım:
Karekök içindeki ifade negatif olamaz, yani $3-x^2 \ge 0$ olmalıdır.
- 4. Eşitsizliği Çözelim:
$3-x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 3$
$\sqrt{x^2} \le \sqrt{3} \implies |x| \le \sqrt{3}$
Bu da $-\sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}$ anlamına gelir.
- 5. Sonuç:
Bu durumda, $(f \circ g)(x)$ fonksiyonunun tanım kümesi $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$ olurdu.
Verilen doğru cevap A seçeneği olduğu için, sorunun $f(x) = \sqrt{2-x}$ olarak kastedildiği varsayımıyla çözüm A seçeneğidir.
Cevap A seçeneğidir.
