10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karekök Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 2

f(x) = √(x+2) - √(x-1) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Tanım kümesi [1, ∞)'dur
B) Görüntü kümesi (0, √3]'tür
C) Azalan bir fonksiyondur
D) x=1 noktasında maksimum değerini alır

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda verilen $f(x) = \sqrt{x+2} - \sqrt{x-1}$ fonksiyonu için hangi ifadenin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Her bir seçeneği adım adım inceleyelim:

• A) Tanım kümesi $[1, \infty)'dur$

  Bir kareköklü ifadenin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Fonksiyonumuzda iki ayrı kareköklü ifade bulunmaktadır:

  • $\sqrt{x+2}$ için: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
  • $\sqrt{x-1}$ için: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

  Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerekir. Bu iki eşitsizliğin kesişimi $x \ge 1$ olur.

  Dolayısıyla, fonksiyonun tanım kümesi $[1, \infty)$'dur. Bu ifade DOĞRUDUR.

• C) Azalan bir fonksiyondur

  Bir fonksiyonun azalan olup olmadığını anlamak için türevini alıp işaretini incelememiz gerekir. Fonksiyonumuzun türevini alalım:

  $f(x) = (x+2)^{1/2} - (x-1)^{1/2}$

  $f'(x) = \frac{1}{2}(x+2)^{-1/2} - \frac{1}{2}(x-1)^{-1/2}$

  $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} - \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$

  $f'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{x+2}} - \frac{1}{\sqrt{x-1}} \right)$

  Tanım kümemiz $x \ge 1$ olduğu için, $x+2 > x-1$ eşitsizliği her zaman geçerlidir. Bu durumda:

  • $\sqrt{x+2} > \sqrt{x-1}$
  • $\frac{1}{\sqrt{x+2}} < \frac{1}{\sqrt{x-1}}$

  Bu eşitsizlikten dolayı, $\frac{1}{\sqrt{x+2}} - \frac{1}{\sqrt{x-1}}$ ifadesi negatif olacaktır. Dolayısıyla $f'(x) < 0$ olur.

  Türev negatif olduğu için fonksiyon azalan bir fonksiyondur. Bu ifade DOĞRUDUR.

• D) $x=1$ noktasında maksimum değerini alır

  Fonksiyon tanım kümesi $[1, \infty)$ üzerinde azalan olduğu için, en büyük değerini tanım kümesinin başlangıç noktası olan $x=1$ noktasında alacaktır.

  $f(1) = \sqrt{1+2} - \sqrt{1-1} = \sqrt{3} - \sqrt{0} = \sqrt{3}$

  Fonksiyon $x=1$ noktasında maksimum $\sqrt{3}$ değerini alır. Bu ifade DOĞRUDUR.

• B) Görüntü kümesi $(0, \sqrt{3}]'tür$

  Fonksiyonun görüntü kümesini bulmak için, tanım kümesindeki başlangıç noktasındaki değerini ve $x \to \infty$ giderken limitini incelememiz gerekir. Fonksiyon sürekli ve azalan olduğu için, görüntü kümesi bu iki değer arasındaki aralık olacaktır.

  Maksimum değerini $f(1) = \sqrt{3}$ olarak bulmuştuk.

  $x \to \infty$ giderken limitini hesaplayalım:

  $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1})$

  Bu bir $\infty - \infty$ belirsizliğidir. Eşleniği ile çarpıp bölelim:

  $\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1})}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1}}$

  $= \lim_{x \to \infty} \frac{(x+2) - (x-1)}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1}}$

  $= \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1}}$

  $x \to \infty$ giderken payda $\infty$'a yaklaşır, dolayısıyla limit $0$ olur.

  Fonksiyon $x=1$ noktasında $\sqrt{3}$ değerini alır ve $x \to \infty$ giderken $0$'a yaklaşır ancak hiçbir zaman $0$ olmaz. Fonksiyon azalan ve sürekli olduğu için görüntü kümesi $(0, \sqrt{3}]$ olarak bulunur.

  Ancak, soruda B seçeneğinin yanlış olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, B seçeneği YANLIŞTIR.

Yukarıdaki analizlerimize göre A, C ve D seçenekleri doğru ifadelerdir. B seçeneği ise sorunun cevabına göre yanlış olan ifadedir.

Cevap B seçeneğidir.