Sevgili öğrenciler, bu soruda köklü ifadeleri sadeleştirmemiz isteniyor. Kök içindeki ifadelerin tam kare olup olmadığını kontrol ederek işe başlayalım.
- İlk olarak, verilen ifadeyi inceleyelim: $\sqrt{x^2+4x+4} - \sqrt{x^2-6x+9}$.
- Kök içindeki ifadelerin her birinin bir tam kare ifade olduğunu fark edelim:
- Birinci kökün içi: $x^2+4x+4$. Bu ifade, $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ özdeşliğini hatırlarsak, $a=x$ ve $b=2$ için $(x+2)^2$ şeklindedir. Yani, $(x+2)^2 = x^2+2(x)(2)+2^2 = x^2+4x+4$.
- İkinci kökün içi: $x^2-6x+9$. Bu ifade ise, $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ özdeşliğini hatırlarsak, $a=x$ ve $b=3$ için $(x-3)^2$ şeklindedir. Yani, $(x-3)^2 = x^2-2(x)(3)+3^2 = x^2-6x+9$.
- Şimdi bu tam kare ifadeleri köklerin içine yerleştirelim:
- $\sqrt{(x+2)^2} - \sqrt{(x-3)^2}$
- Kareköklü ifadelerin önemli bir özelliğini hatırlayalım: $\sqrt{a^2} = |a|$. Yani bir sayının karesinin karekökü, o sayının mutlak değerine eşittir. Bu kuralı uygulayalım:
- $\sqrt{(x+2)^2} = |x+2|$
- $\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$
- Bu sadeleşmiş ifadeleri yerine yazarsak, ifadenin en sade şeklini buluruz:
- Bu sonuç, seçeneklerdeki A şıkkı ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
