10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karekök Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 1

f: [0,4] → R, f(x) = √(4x-x²) fonksiyonunun maksimum değeri kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 4

Bu soruda, verilen bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki maksimum değerini bulmamız isteniyor. Fonksiyonumuz $f(x) = \sqrt{4x-x^2}$ ve tanım aralığı $[0,4]$.

• Adım 1: Fonksiyonu Anlamak

  Fonksiyonumuz bir karekök içeriyor: $f(x) = \sqrt{4x-x^2}$. Bir karekök fonksiyonunun değeri, kökün içindeki ifadenin değeri arttıkça artar. Dolayısıyla, $f(x)$'in maksimum değerini bulmak için, karekökün içindeki $g(x) = 4x-x^2$ ifadesinin maksimum değerini bulmamız yeterlidir.

• Adım 2: Karekök İçindeki İfadeyi İncelemek

  Karekök içindeki ifade $g(x) = 4x-x^2$ bir parabol denklemidir. Bu ifadeyi $g(x) = -x^2+4x$ şeklinde yazabiliriz. Bu, katsayısı negatif olan ($a=-1$) bir ikinci dereceden fonksiyondur, yani kolları aşağı doğru olan bir paraboldür. Kolları aşağı doğru olan bir parabolün bir maksimum değeri vardır ve bu değer parabolün tepe noktasında (vertex) gerçekleşir.

• Adım 3: Parabolün Tepe Noktasını Bulmak

  Bir $ax^2+bx+c$ şeklindeki parabolün tepe noktasının x-koordinatı $x = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur. Bizim $g(x) = -x^2+4x$ fonksiyonumuzda $a=-1$ ve $b=4$'tür.

  Tepe noktasının x-koordinatını hesaplayalım:

  $x = -\frac{4}{2(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$

  Bulduğumuz $x=2$ değeri, fonksiyonun tanım aralığı olan $[0,4]$ içerisindedir. Bu harika!

• Adım 4: Karekök İçindeki İfadenin Maksimum Değerini Bulmak

  Şimdi $x=2$ değerini $g(x)$ fonksiyonuna yerine koyarak $g(x)$'in maksimum değerini bulalım:

  $g(2) = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4$

  Yani, karekökün içindeki ifadenin alabileceği en büyük değer $4$'tür.

• Adım 5: Fonksiyonun Maksimum Değerini Bulmak

  Karekök içindeki ifadenin maksimum değerini bulduğumuza göre, şimdi $f(x)$'in maksimum değerini bulabiliriz:

  $f_{maksimum} = \sqrt{g_{maksimum}} = \sqrt{4} = 2$

  Bu değer, $x=2$ noktasında elde edilir.

  Tanım aralığının uç noktalarını da kontrol edelim:

  $f(0) = \sqrt{4(0)-(0)^2} = \sqrt{0} = 0$

  $f(4) = \sqrt{4(4)-(4)^2} = \sqrt{16-16} = \sqrt{0} = 0$

  Görüldüğü gibi, $x=2$ noktasındaki değer ($2$) diğer noktalardaki değerlerden daha büyüktür ve fonksiyonun maksimum değeridir.

• Adım 6: Alternatif Yöntem (Tam Kareye Tamamlama)

  Karekök içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayarak da çözebiliriz:

  $4x-x^2 = -(x^2-4x)$

  Parantez içini tam kare yapmak için $4$ ekleyip çıkarmalıyız:

  $-(x^2-4x+4-4) = -((x-2)^2-4) = -(x-2)^2+4$

  Şimdi fonksiyonu yeniden yazalım:

  $f(x) = \sqrt{4-(x-2)^2}$

  Bu ifadeyi maksimize etmek için $(x-2)^2$ ifadesinin minimum olmasını sağlamalıyız, çünkü önünde eksi işareti var. Bir sayının karesi en az $0$ olabilir. Yani $(x-2)^2 = 0$ olduğunda ifade maksimum olur. Bu da $x-2=0 \implies x=2$ demektir.

  $x=2$ için $f(2) = \sqrt{4-(2-2)^2} = \sqrt{4-0} = \sqrt{4} = 2$.

Cevap C seçeneğidir.