Bir karekök fonksiyonunun tanım kümesi [a,b] ve görüntü kümesi [0,c] olarak veriliyor. Fonksiyon f(x) = √(16-(x-4)²) olduğuna göre a+b+c toplamı kaçtır?
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir karekök fonksiyonunun tanım ve görüntü kümesini bulup, verilen $a$, $b$ ve $c$ değerlerini kullanarak bir toplam hesaplayacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Tanım Kümesi (Domain) Belirleme:
- Bir karekök fonksiyonu olan $f(x) = \sqrt{144-(x-4)^2}$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, $144-(x-4)^2 \ge 0$ olmalıdır.
- Bu eşitsizliği düzenleyelim: $144 \ge (x-4)^2$.
- Eşitsizliğin her iki tarafının karekökünü alırken mutlak değer kullanmayı unutmayalım: $\sqrt{(x-4)^2} \le \sqrt{144}$.
- Bu da $|x-4| \le 12$ anlamına gelir.
- Mutlak değer eşitsizliğini açarsak: $-12 \le x-4 \le 12$.
- Eşitsizliğin her tarafına $4$ ekleyerek $x$'in aralığını bulalım: $-12+4 \le x-4+4 \le 12+4$.
- Böylece $x$'in aralığı $-8 \le x \le 16$ olarak bulunur.
- Fonksiyonun tanım kümesi $[-8, 16]$'dır. Soruda tanım kümesi $[a,b]$ olarak verildiğine göre, $a=-8$ ve $b=16$ değerlerini elde ederiz.
- 2. Görüntü Kümesi (Range) Belirleme:
- Karekök fonksiyonunun değeri daima non-negatiftir (sıfır veya pozitif). Bu nedenle görüntü kümesinin alt sınırı $0$'dır.
- Görüntü kümesinin üst sınırını bulmak için karekök içindeki $144-(x-4)^2$ ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulmalıyız.
- Bu ifade, $(x-4)^2$ terimi en küçük değerini aldığında en büyük olur. Bir sayının karesi en az $0$ olabilir, yani $(x-4)^2 \ge 0$.
- $(x-4)^2 = 0$ olduğunda (bu durum $x=4$ iken gerçekleşir), karekök içindeki ifade $144-0=144$ olur.
- Bu durumda $f(x) = \sqrt{144} = 12$ olur. Bu, $f(x)$'in alabileceği en büyük değerdir.
- Fonksiyonun alabileceği en küçük değer ise karekök içindeki ifadenin $0$ olduğu durumlardır (yani $x=-8$ veya $x=16$ iken $f(x)=0$).
- Dolayısıyla, fonksiyonun görüntü kümesi $[0,12]$'dir. Soruda görüntü kümesi $[0,c]$ olarak verildiğine göre, $c=12$ değerini elde ederiz.
- 3. $a+b+c$ Toplamını Hesaplama:
- Bulduğumuz değerler $a=-8$, $b=16$ ve $c=12$'dir.
- Bu değerleri toplayalım: $a+b+c = -8+16+12$.
- Önce $-8+16$ işlemini yaparsak $8$ elde ederiz.
- Ardından $8+12$ işlemini yaparsak $20$ elde ederiz.
Buna göre, $a+b+c$ toplamı $20$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
