Birim çember üzerinde \( \sin^2x + \cos^2x \) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0Bu soruyu çözmek için birim çemberin temel özelliklerini ve trigonometrik oranların birim çemberle ilişkisini hatırlayalım. Hazırsanız, adım adım ilerleyelim:
Birim çember, merkezi başlangıç noktası $(0,0)$ olan ve yarıçapı $1$ birim olan bir çemberdir. Bu çember üzerindeki her noktanın koordinatları, trigonometrik fonksiyonlarla yakından ilişkilidir.
Birim çember üzerinde herhangi bir $P(x_0,y_0)$ noktası alalım. Bu noktanın $x$-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıyı $x$ olarak adlandıralım. Bu durumda, $P$ noktasının koordinatları $x_0 = \cos x$ ve $y_0 = \sin x$ olarak tanımlanır.
Yani, birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi (x-koordinatı) açının kosinüsünü, ordinatı (y-koordinatı) ise açının sinüsünü verir.
Birim çember üzerindeki $P(x_0,y_0)$ noktasının başlangıç noktasına $(0,0)$ olan uzaklığı, çemberin yarıçapı olduğu için $1$ birimdir. Bu noktayı, başlangıç noktasını ve $x$-ekseni üzerindeki $(x_0,0)$ noktasını kullanarak bir dik üçgen oluşturabiliriz. Bu dik üçgende kenar uzunlukları $|x_0|$, $|y_0|$ ve hipotenüs uzunluğu $1$ birimdir. Pisagor Teoremi'ne göre $x_0^2 + y_0^2 = 1^2$ eşitliği geçerlidir.
Bu eşitliği $x_0^2 + y_0^2 = 1$ şeklinde yazabiliriz.
Yukarıda öğrendiğimiz gibi, birim çember üzerinde $x_0 = \cos x$ ve $y_0 = \sin x$ idi. Bu değerleri Pisagor Teoremi'nden elde ettiğimiz $x_0^2 + y_0^2 = 1$ denkleminde yerine koyalım:
$(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1$
Bu ifadeyi daha yaygın olarak kullanılan şekliyle $\cos^2x + \sin^2x = 1$ veya $\sin^2x + \cos^2x = 1$ olarak yazarız.
Gördüğümüz gibi, birim çember üzerindeki herhangi bir açı $x$ için $\sin^2x + \cos^2x$ ifadesinin değeri her zaman $1$'e eşittir. Bu, trigonometrinin en temel ve önemli özdeşliklerinden biridir ve "Temel Trigonometrik Özdeşlik" olarak bilinir.
Cevap B seçeneğidir.
