Bir fabrikada üretilen vidaların uzunlukları ortalaması 50 mm, standart sapması 2 mm olan normal dağılıma uymaktadır. Buna göre rastgele seçilen bir vidanın uzunluğunun 46 mm ile 54 mm arasında olma olasılığı yaklaşık yüzde kaçtır?
A) 68%
B) 95%
C) 99.7%
D) 90%
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, normal dağılım gösteren bir veri setindeki olasılığı bulmamız isteniyor. Normal dağılımın en önemli özelliklerinden biri olan "Empirik Kural" (veya 68-95-99.7 Kuralı) bu tür soruları çözmek için harika bir araçtır. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:
- 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım
- Ortalama ($\mu$): 50 mm (Vidaların uzunluklarının merkezi değeri)
- Standart Sapma ($\sigma$): 2 mm (Vidaların uzunluklarının ortalamadan ne kadar saptığını gösteren ölçü)
- İstenen aralık: 46 mm ile 54 mm arası olma olasılığı.
- 2. Adım: Empirik Kuralı Hatırlayalım
- Empirik Kural, normal dağılıma sahip verilerin yaklaşık olarak ne kadarının ortalamadan belirli standart sapma uzaklıklarında düştüğünü söyler:
- Verilerin yaklaşık %68'i ortalamanın 1 standart sapma içinde yer alır. Yani, $(\mu - \sigma)$ ile $(\mu + \sigma)$ arasındadır.
- Verilerin yaklaşık %95'i ortalamanın 2 standart sapma içinde yer alır. Yani, $(\mu - 2\sigma)$ ile $(\mu + 2\sigma)$ arasındadır.
- Verilerin yaklaşık %99.7'si ortalamanın 3 standart sapma içinde yer alır. Yani, $(\mu - 3\sigma)$ ile $(\mu + 3\sigma)$ arasındadır.
- 3. Adım: İstenen Aralığı Standart Sapmalar Cinsinden İfade Edelim
- Ortalamamız $\mu = 50$ mm ve standart sapmamız $\sigma = 2$ mm.
- İstenen aralığın alt sınırı 46 mm. Bu, ortalamadan ne kadar uzakta?
- $50 - 46 = 4$ mm.
- Bu $4$ mm, kaç standart sapmaya denk geliyor? $4 \text{ mm} / 2 \text{ mm/standart sapma} = 2$ standart sapma.
- Yani, 46 mm, ortalamanın 2 standart sapma altındadır ($\mu - 2\sigma$).
- İstenen aralığın üst sınırı 54 mm. Bu, ortalamadan ne kadar uzakta?
- $54 - 50 = 4$ mm.
- Bu $4$ mm, kaç standart sapmaya denk geliyor? $4 \text{ mm} / 2 \text{ mm/standart sapma} = 2$ standart sapma.
- Yani, 54 mm, ortalamanın 2 standart sapma üstündedir ($\mu + 2\sigma$).
- Bu durumda, 46 mm ile 54 mm arasındaki aralık, ortalamanın 2 standart sapma altı ile 2 standart sapma üstü arasındaki aralığa karşılık gelmektedir. Yani, $(\mu - 2\sigma)$ ile $(\mu + 2\sigma)$ arasıdır.
- 4. Adım: Olasılığı Belirleyelim
- Empirik Kural'a göre, verilerin yaklaşık %95'i ortalamanın 2 standart sapma içinde yer alır.
- Dolayısıyla, rastgele seçilen bir vidanın uzunluğunun 46 mm ile 54 mm arasında olma olasılığı yaklaşık %95'tir.
Cevap B seçeneğidir.
