Eğimli viraj soruları Test 2

Bir araç sürtünmesiz eğimli bir virajda sabit hızla dönmektedir. Virajın eğim açısı θ, yarıçapı r ve yer çekimi ivmesi g olduğuna göre, aracın virajı güvenle dönebilmesi için sahip olması gereken hız aşağıdakilerden hangisidir?

A) v = √(g·r·tanθ)
B) v = √(g·r·sinθ)
C) v = √(g·r·cosθ)
D) v = √(g·r·cotθ)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, sürtünmesiz eğimli bir virajda sabit hızla dönen bir aracın güvenle yol alabilmesi için sahip olması gereken hızı bulacağız. Bu problem, dairesel hareket ve kuvvet dengesi prensiplerini bir araya getiren klasik bir fizik problemidir. Adım adım ilerleyerek bu soruyu çözelim.

• 1. Kuvvetleri Belirleyelim:

  Araç eğimli virajda hareket ederken üzerine etki eden iki temel kuvvet vardır:

  • Yer Çekimi Kuvveti (Ağırlık): Aracın kütlesi $m$ ise, yer çekimi ivmesi $g$ olmak üzere, ağırlık kuvveti $mg$ kadardır ve her zaman dikey aşağı yönlüdür.
  • Normal Kuvvet: Virajın yüzeyi tarafından araca uygulanan, yüzeye dik olan kuvvettir. Bu kuvveti $N$ ile gösterelim. Soruda virajın sürtünmesiz olduğu belirtildiği için sürtünme kuvvetini dikkate almayacağız.
• 2. Kuvvetleri Bileşenlerine Ayıralım:

  Araç yatay bir dairede hareket ettiği için, merkeze doğru bir net kuvvet (merkezcil kuvvet) olmalıdır. Dikey yönde ise bir ivme olmadığı için kuvvetler dengede olmalıdır. Bu nedenle, normal kuvveti yatay ve dikey bileşenlerine ayırmamız gerekir. Eğik düzlemin açısı $\theta$ olduğunda, normal kuvvetin bileşenleri şu şekilde olur:

  • Dikey Bileşen: $N \cos\theta$. Bu bileşen, aracın ağırlığını dengeleyecektir.
  • Yatay Bileşen: $N \sin\theta$. Bu bileşen, araca etki eden merkezcil kuvveti sağlayacaktır.

  Yer çekimi kuvveti $mg$ zaten dikey olduğu için bileşenlerine ayırmamıza gerek yoktur.

• 3. Denge Denklemlerini Kuralım:

  Şimdi kuvvet dengesi ve merkezcil kuvvet denklemlerini yazalım:

  • Dikey Denge (Yatay ivme yok): Aracın dikey yönde bir ivmesi olmadığı için, yukarı yönlü kuvvetler aşağı yönlü kuvvetlere eşit olmalıdır.

    $N \cos\theta = mg \quad (Denklem \ 1)$

  • Yatay Merkezcil Kuvvet (Dairesel hareket): Aracın yatayda dairesel hareket yapabilmesi için merkeze doğru bir net kuvvet (merkezcil kuvvet) olmalıdır. Merkezcil kuvvetin formülü $\frac{mv^2}{r}$'dir.

    $N \sin\theta = \frac{mv^2}{r} \quad (Denklem \ 2)$

• 4. Hızı Bulmak İçin Denklemleri Çözelim:

  Amacımız $v$ hızını bulmak. Bunun için iki denklemi birbirine oranlayabiliriz. Bu, $N$ değerini ortadan kaldırmanın kolay bir yoludur:

  Denklem 2'yi Denklem 1'e bölelim:

  $\frac{N \sin\theta}{N \cos\theta} = \frac{\frac{mv^2}{r}}{mg}$

  Sol tarafta $N$'ler sadeleşir ve $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ifadesi $\tan\theta$ olur. Sağ tarafta ise $m$'ler sadeleşir:

  $\tan\theta = \frac{v^2}{gr}$

  Şimdi $v^2$ ifadesini yalnız bırakalım:

  $v^2 = gr \tan\theta$

  Son olarak, $v$ hızını bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:

  $v = \sqrt{gr \tan\theta}$

Bu formül, sürtünmesiz eğimli bir virajda aracın güvenle dönebilmesi için sahip olması gereken hızı verir. Bu hız, virajın eğim açısı, yarıçapı ve yer çekimi ivmesine bağlıdır.

Bulduğumuz bu sonuç, seçeneklere baktığımızda A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.