f: Z → Z olmak üzere f(x) = 2x + 3 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Bire bir ve örtendir
B) Bire bir değil ama örtendir
C) Bire birdir ama örten değildir
D) Ne bire birdir ne de örtendir
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun bire bir (injective) ve örten (surjective) özelliklerini inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ olmak üzere $f(x) = 2x + 3$ olarak verilmiştir. Adım adım inceleyelim:
-
1. Bire Bir (Injective) Olma Durumu:
- Bir fonksiyonun bire bir olması için, tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı olmalıdır. Yani, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, bu durumda $x_1 = x_2$ olmalıdır.
- Fonksiyonumuz $f(x) = 2x + 3$. Şimdi bu tanımı uygulayalım:
- Farz edelim ki $f(x_1) = f(x_2)$ olsun.
- Bu durumda $2x_1 + 3 = 2x_2 + 3$ eşitliğini yazarız.
- Eşitliğin her iki tarafından $3$ çıkarırsak: $2x_1 = 2x_2$ elde ederiz.
- Şimdi eşitliğin her iki tarafını $2$'ye bölersek: $x_1 = x_2$ sonucuna ulaşırız.
- Gördüğümüz gibi, $f(x_1) = f(x_2)$ kabul ettiğimizde $x_1 = x_2$ sonucuna ulaştık. Bu da fonksiyonun bire bir olduğunu gösterir.
-
2. Örten (Surjective) Olma Durumu:
- Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesindeki (burada $\mathbb{Z}$) her eleman için tanım kümesinde (burada $\mathbb{Z}$) en az bir karşılığı olması gerekir. Yani, değer kümesinde boşta eleman kalmamalıdır. Başka bir deyişle, fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesine eşit olmalıdır.
- Fonksiyonumuz $f(x) = 2x + 3$. Değer kümesinden rastgele bir $y$ tam sayısı alalım ve bu $y$ değerinin bir $x$ tam sayısı için $f(x)$ olup olmadığını kontrol edelim.
- $f(x) = y$ eşitliğini kuralım: $2x + 3 = y$.
- $x$'i yalnız bırakalım: $2x = y - 3$.
- $x = \frac{y - 3}{2}$.
- Şimdi, $x$'in bir tam sayı (tanım kümesinin elemanı) olması için $y - 3$ ifadesinin çift bir sayı olması gerekir.
- Eğer $y - 3$ çift ise, $y$ bir tek sayı olmalıdır (çünkü tek - tek = çift, veya çift - tek = tek).
- Örneğin, değer kümesinden (yani $\mathbb{Z}$'den) bir çift sayı olan $y = 2$ alalım.
- Bu durumda $x = \frac{2 - 3}{2} = -\frac{1}{2}$ olur.
- Gördüğümüz gibi, $x = -\frac{1}{2}$ bir tam sayı değildir. Bu, değer kümesindeki $2$ sayısının tanım kümesinde hiçbir tam sayı karşılığı olmadığı anlamına gelir.
- Benzer şekilde, $y = 4$ için $x = \frac{4-3}{2} = \frac{1}{2}$ de bir tam sayı değildir.
- Bu durum, değer kümesindeki tüm çift sayıların fonksiyonun görüntü kümesinde olmadığını gösterir. Dolayısıyla, fonksiyonun görüntü kümesi değer kümesine eşit değildir.
- Bu da fonksiyonun örten olmadığını gösterir.
-
3. Sonuç:
- Fonksiyon bire birdir ama örten değildir.
- Bu durum seçeneklerde C şıkkına karşılık gelmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
