10. Sınıf Bire Bir ve Örten Fonksiyon Test 2

A = {1, 2, 3, 4} ve B = {5, 6, 7, 8} kümeleri veriliyor. f: A → B bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere, f(1) = 5 ve f(2) = 6 olduğu biliniyor. Buna göre kaç farklı f fonksiyonu tanımlanabilir?

A) 1
B) 2
C) 4
D) 6

Sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen kümeler ve bir fonksiyonun özellikleri üzerinden kaç farklı fonksiyon tanımlanabileceğini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Kümeleri ve Fonksiyon Türünü Anlayalım:

  Bize $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ve $B = \{5, 6, 7, 8\}$ kümeleri verilmiş. Fonksiyonumuz $f: A \rightarrow B$ şeklinde tanımlanmış ve bire bir (injective) ve örten (surjective) olduğu belirtilmiştir. Bu, fonksiyonun aynı zamanda bir eşleme (bijection) olduğu anlamına gelir.

  Bire bir (One-to-one): A kümesindeki her farklı eleman, B kümesinde farklı bir elemana eşleşir. Yani, $x_1 \neq x_2$ ise $f(x_1) \neq f(x_2)$'dir.

  Örten (Onto): B kümesindeki her eleman, A kümesindeki en az bir elemanın görüntüsüdür. Yani, B kümesinde açıkta eleman kalmaz.

  Ayrıca, $A$ kümesinin eleman sayısı $|A| = 4$ ve $B$ kümesinin eleman sayısı $|B| = 4$'tür. Eleman sayıları eşit olan iki küme arasında tanımlanan bire bir bir fonksiyon aynı zamanda örten olur ve örten bir fonksiyon da bire bir olur. Bu nedenle, sadece bire bir eşleşmeleri bulmamız yeterli olacaktır.

• Verilen Bilgileri Yerleştirelim:

  Soruda bize $f(1) = 5$ ve $f(2) = 6$ olduğu bilgisi verilmiş. Bu eşleşmeler sabittir ve değiştirilemez.

  Yani, $1 \in A$ elemanı $5 \in B$ elemanına eşleşti.

  Ve $2 \in A$ elemanı $6 \in B$ elemanına eşleşti.

• Kalan Elemanları ve Eşleşmeleri Belirleyelim:

  A kümesinde henüz eşleşmemiş elemanlar $A' = \{3, 4\}$'tür.

  B kümesinde henüz eşleşmemiş elemanlar (yani $f(1)$ ve $f(2)$'nin görüntüleri dışındaki elemanlar) $B' = \{7, 8\}$'dir.

  Fonksiyonun bire bir ve örten olma şartını sağlaması için, $A'$ kümesindeki elemanların $B'$ kümesindeki elemanlarla eşleşmesi gerekmektedir. Yani, $f(3)$ ve $f(4)$ değerleri $7$ ve $8$ olmak zorundadır ve her biri farklı bir değere eşleşmelidir.

• Olası Eşleşmeleri Sayalım:

  Şimdi $3$ ve $4$ elemanlarını $7$ ve $8$ elemanlarına kaç farklı şekilde eşleştirebileceğimize bakalım:

• 1. Olasılık:

  $f(3) = 7$ olursa,

  bire bir ve örtenlik şartı gereği $f(4)$ mecburen $8$ olmak zorundadır (çünkü $7$ zaten kullanıldı ve $B'$ kümesinde sadece $8$ kaldı).

  Bu durumda fonksiyonumuz $f = \{(1,5), (2,6), (3,7), (4,8)\}$ olur.

• 2. Olasılık:

  $f(3) = 8$ olursa,

  bire bir ve örtenlik şartı gereği $f(4)$ mecburen $7$ olmak zorundadır (çünkü $8$ zaten kullanıldı ve $B'$ kümesinde sadece $7$ kaldı).

  Bu durumda fonksiyonumuz $f = \{(1,5), (2,6), (3,8), (4,7)\}$ olur.

Görüldüğü gibi, kalan $2$ elemanı kalan $2$ elemana eşleştirmenin $2! = 2 \times 1 = 2$ farklı yolu vardır.

• Sonuç:

  Verilen koşulları sağlayan toplam $2$ farklı $f$ fonksiyonu tanımlanabilir.

Cevap B seçeneğidir.