10. Sınıf Referans Fonksiyonlar ve Ters Fonksiyonları Test 2

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi birebir ve örten olduğu için tersi vardır?

A) f: R → R, f(x) = x²
B) f: R → R, f(x) = |x|
C) f: R → R, f(x) = x³
D) f: R → [0, ∞), f(x) = x⁴

Öncelikle bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için hangi şartları sağlaması gerektiğini hatırlayalım:

• Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için birebir (one-to-one) ve örten (onto) olması gerekir.
• Birebir (One-to-one) Fonksiyon: Tanım kümesindeki her farklı elemanı, değer kümesinde farklı bir elemana eşleyen fonksiyondur. Yani, $f(x_1) = f(x_2)$ ise $x_1 = x_2$ olmalıdır. Grafiği yatay bir çizgi ile birden fazla noktada kesilmez.
• Örten (Onto) Fonksiyon: Değer kümesindeki her elemanın, tanım kümesinde en az bir karşılığı olmasıdır. Başka bir deyişle, fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesine eşit olmalıdır.

Şimdi seçenekleri bu kriterlere göre inceleyelim:

• A) $f: R \rightarrow R$, $f(x) = x^2$

  Birebir mi? Hayır. Örneğin, $f(2) = 2^2 = 4$ ve $f(-2) = (-2)^2 = 4$. Farklı $x$ değerleri ($2$ ve $-2$) aynı $f(x)$ değerini ($4$) vermektedir. Bu durum, fonksiyonun birebir olmadığını gösterir.

  Örten mi? Hayır. Fonksiyonun değer kümesi $R$ (tüm reel sayılar) iken, $f(x) = x^2$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[0, \infty)$'dur (negatif sayılar $x^2$ ile elde edilemez). Görüntü kümesi değer kümesine eşit değildir, bu yüzden örten değildir.

  Bu fonksiyon birebir ve örten olmadığı için tersi yoktur.

• B) $f: R \rightarrow R$, $f(x) = |x|$

  Birebir mi? Hayır. Örneğin, $f(2) = |2| = 2$ ve $f(-2) = |-2| = 2$. Farklı $x$ değerleri ($2$ ve $-2$) aynı $f(x)$ değerini ($2$) vermektedir. Bu durum, fonksiyonun birebir olmadığını gösterir.

  Örten mi? Hayır. Fonksiyonun değer kümesi $R$ iken, $f(x) = |x|$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[0, \infty)$'dur (negatif sayılar $|x|$ ile elde edilemez). Görüntü kümesi değer kümesine eşit değildir, bu yüzden örten değildir.

  Bu fonksiyon birebir ve örten olmadığı için tersi yoktur.

• C) $f: R \rightarrow R$, $f(x) = x^3$

  Birebir mi? Evet. Eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise $x_1^3 = x_2^3$ demektir. Her iki tarafın küpkökünü aldığımızda $x_1 = x_2$ elde ederiz. Bu, fonksiyonun birebir olduğunu gösterir. Ayrıca, $x^3$ fonksiyonu sürekli artan bir fonksiyondur, bu da birebir olmasının bir göstergesidir.

  Örten mi? Evet. Fonksiyonun değer kümesi $R$ (tüm reel sayılar). $f(x) = x^3$ fonksiyonunun görüntü kümesi de $R$'dir. Yani, değer kümesindeki her $y$ reel sayısı için, $x^3 = y$ denklemini sağlayan bir $x = \sqrt[3]{y}$ reel sayısı her zaman vardır. Görüntü kümesi değer kümesine eşittir, bu yüzden örten bir fonksiyondur.

  Bu fonksiyon hem birebir hem de örten olduğu için tersi vardır.

• D) $f: R \rightarrow [0, \infty)$, $f(x) = x^4$

  Birebir mi? Hayır. Örneğin, $f(2) = 2^4 = 16$ ve $f(-2) = (-2)^4 = 16$. Farklı $x$ değerleri ($2$ ve $-2$) aynı $f(x)$ değerini ($16$) vermektedir. Bu durum, fonksiyonun birebir olmadığını gösterir.

  Örten mi? Evet. Fonksiyonun değer kümesi $[0, \infty)$ olarak belirtilmiştir. $f(x) = x^4$ fonksiyonunun görüntü kümesi de $[0, \infty)$'dur. Görüntü kümesi değer kümesine eşittir, bu yüzden örten bir fonksiyondur.

  Bu fonksiyon örten olmasına rağmen birebir olmadığı için tersi yoktur.

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, hem birebir hem de örten olan tek fonksiyon C seçeneğindeki $f(x) = x^3$ fonksiyonudur.

Cevap C seçeneğidir.