10. Sınıf Referans Fonksiyonlar ve Ters Fonksiyonları Test 2

f ve g fonksiyonları için (fog)(x) = x ve (gof)(x) = x eşitlikleri sağlanıyorsa, bu fonksiyonlarla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) f ve g aynı fonksiyonlardır
B) f ve g birbirinin tersidir
C) f ve g birebir değildir
D) f ve g örten değildir

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bize verilen iki önemli eşitlik var: $(f \circ g)(x) = x$ ve $(g \circ f)(x) = x$. Bu eşitliklerin ne anlama geldiğini adım adım inceleyelim ve doğru seçeneği bulalım.

• 1. Verilen Eşitlikleri Anlamak:

• Öncelikle, $(f \circ g)(x)$ ifadesi $f(g(x))$ anlamına gelir. Yani, $x$ değerini önce $g$ fonksiyonuna uyguluyoruz, çıkan sonucu da $f$ fonksiyonuna uyguluyoruz.

  Aynı şekilde, $(g \circ f)(x)$ ifadesi $g(f(x))$ anlamına gelir. Burada da $x$ değerini önce $f$ fonksiyonuna uyguluyoruz, çıkan sonucu da $g$ fonksiyonuna uyguluyoruz.

• 2. Eşitliklerin Anlamı:

• Bize verilen $(f \circ g)(x) = x$ eşitliği, $f(g(x)) = x$ demektir. Bu, $x$ değerini $g$ fonksiyonuna uyguladıktan sonra çıkan sonucu $f$ fonksiyonuna uyguladığımızda, başlangıçtaki $x$ değerine geri döndüğümüzü gösterir.

  Benzer şekilde, $(g \circ f)(x) = x$ eşitliği, $g(f(x)) = x$ demektir. Bu da $x$ değerini $f$ fonksiyonuna uyguladıktan sonra çıkan sonucu $g$ fonksiyonuna uyguladığımızda, yine başlangıçtaki $x$ değerine geri döndüğümüzü gösterir.

  Matematikte, bir fonksiyonu uyguladıktan sonra başka bir fonksiyonu uyguladığımızda başlangıç değerine geri dönüyorsak, bu iki fonksiyonun birbirinin "tersi" olduğunu söyleriz. Bu durum, "birbirini götüren" işlemler gibi düşünülebilir. Örneğin, bir sayıyı $2$ ile çarpmak ve sonra $2$'ye bölmek gibi.

• 3. Ters Fonksiyon Tanımı:

• Matematikte ters fonksiyonun tanımı tam olarak budur: Eğer $f$ ve $g$ iki fonksiyon ise ve her $x$ için $(f \circ g)(x) = x$ ve $(g \circ f)(x) = x$ eşitlikleri sağlanıyorsa, o zaman $f$ fonksiyonu $g$ fonksiyonunun tersidir (veya $g$ fonksiyonu $f$ fonksiyonunun tersidir). Bu durum genellikle $f = g^{-1}$ veya $g = f^{-1}$ şeklinde gösterilir.

• 4. Seçenekleri Değerlendirme:
• • A) f ve g aynı fonksiyonlardır: Eğer $f(x) = g(x)$ olsaydı, $(f \circ g)(x) = f(f(x))$ olurdu. Bu her zaman $x$'e eşit değildir. Örneğin, $f(x) = x+1$ ise $f(f(x)) = (x+1)+1 = x+2 \neq x$. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.
  • B) f ve g birbirinin tersidir: Yukarıda açıkladığımız gibi, verilen eşitlikler tam olarak ters fonksiyonun tanımıdır. Bu seçenek doğrudur.
  • C) f ve g birebir değildir: Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için o fonksiyonun birebir (injective) ve örten (surjective) olması gerekir. Yani, $f$ ve $g$ birbirinin tersi ise, ikisi de birebir olmak zorundadır. Bu nedenle bu seçenek yanlıştır.
  • D) f ve g örten değildir: Aynı şekilde, bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için o fonksiyonun birebir ve örten olması gerekir. Yani, $f$ ve $g$ birbirinin tersi ise, ikisi de örten olmak zorundadır. Bu nedenle bu seçenek yanlıştır.

Sonuç olarak, verilen eşitlikler $f$ ve $g$ fonksiyonlarının birbirinin tersi olduğunu açıkça belirtmektedir.

Cevap B seçeneğidir.