Bir örüntüdeki terimler 3, 6, 12, 24 şeklinde ilerlemektedir. Bu örüntünün genel kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 × 2ⁿ⁻¹
B) 3 × 2ⁿ
C) 2 × 3ⁿ⁻¹
D) 2 × 3ⁿ
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bize verilen bir sayı örüntüsünün genel kuralını bulmamız isteniyor. Örüntümüz 3, 6, 12, 24 şeklinde ilerliyor. Hadi bu örüntüyü adım adım inceleyelim ve kuralını keşfedelim.
- Örüntüyü İnceleyelim:
- İlk terim: $3$
- İkinci terim: $6$
- Üçüncü terim: $12$
- Dördüncü terim: $24$
- Terimler Arasındaki İlişkiyi Bulalım:
- İlk terimden ikinci terime geçerken ne oluyor? $6 \div 3 = 2$ veya $3 \times 2 = 6$.
- İkinci terimden üçüncü terime geçerken ne oluyor? $12 \div 6 = 2$ veya $6 \times 2 = 12$.
- Üçüncü terimden dördüncü terime geçerken ne oluyor? $24 \div 12 = 2$ veya $12 \times 2 = 24$.
- Ortak Çarpanı (Oranı) Belirleyelim:
Görüyoruz ki, her terim bir önceki terimin $2$ katı. Bu tür örüntülere 'geometrik dizi' denir ve her terim arasındaki sabit çarpana 'ortak oran' denir. Bizim örüntümüzdeki ortak oran $r = 2$'dir.
- Genel Kuralı Hatırlayalım:
Bir geometrik dizinin genel kuralı (n. terimi) $a_n = a_1 \times r^{n-1}$ şeklinde ifade edilir. Burada:
- $a_n$: Dizinin n. terimi
- $a_1$: Dizinin ilk terimi
- $r$: Ortak oran
- $n$: Terim sayısı (terimin sırası)
- Kuralı Örüntümüze Uygulayalım:
- İlk terimimiz $a_1 = 3$.
- Ortak oranımız $r = 2$.
Bu değerleri genel kural formülüne yerleştirelim:
$a_n = 3 \times 2^{n-1}$
- Kuralı Kontrol Edelim:
Bulduğumuz kuralın doğru olup olmadığını kontrol edelim:
- $n=1$ için (1. terim): $a_1 = 3 \times 2^{1-1} = 3 \times 2^0 = 3 \times 1 = 3$. (Doğru)
- $n=2$ için (2. terim): $a_2 = 3 \times 2^{2-1} = 3 \times 2^1 = 3 \times 2 = 6$. (Doğru)
- $n=3$ için (3. terim): $a_3 = 3 \times 2^{3-1} = 3 \times 2^2 = 3 \times 4 = 12$. (Doğru)
- $n=4$ için (4. terim): $a_4 = 3 \times 2^{4-1} = 3 \times 2^3 = 3 \times 8 = 24$. (Doğru)
Gördüğümüz gibi, bulduğumuz kural örüntünün tüm terimlerini doğru bir şekilde vermektedir.
- Seçeneklerle Karşılaştıralım:
Bulduğumuz genel kural $3 \times 2^{n-1}$'dir. Seçeneklere baktığımızda, bu kuralın A seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
