9. Sınıf Özdeşliklerin Cebirsel ve Geometrik Temsilleri Nedir? Test 1

Bir kenarı a olan kareden bir kenarı b olan kare kesilerek çıkarılıyor. Kalan şeklin alanı hem a² - b² hem de (a-b)(a+b) olarak ifade edilebiliyor.
Bu geometrik modelleme hangi özdeşliği temsil etmektedir?

A) (a+b)² = a² + 2ab + b²
B) a² - b² = (a-b)(a+b)
C) (a-b)² = a² - 2ab + b²
D) (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

Bu problem, cebirsel bir özdeşliği geometrik bir modelleme ile açıklamaktadır. Adım adım inceleyelim:

• Başlangıç Durumu: Bir kenarı $a$ olan büyük bir karemiz var. Bu karenin alanı $a \times a = a^2$ olarak hesaplanır.
• Kesilip Çıkarılan Kısım: Bu büyük kareden, bir kenarı $b$ olan daha küçük bir kare kesilerek çıkarılıyor. Kesilen bu küçük karenin alanı $b \times b = b^2$ olarak hesaplanır.
• Kalan Şeklin Alanı (Birinci İfade): Büyük kareden küçük kare çıkarıldığına göre, geriye kalan şeklin alanı, büyük karenin alanından küçük karenin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Yani, kalan alan $a^2 - b^2$ olur.
• Kalan Şeklin Alanı (İkinci İfade): Problemde belirtildiği gibi, aynı kalan şeklin alanı aynı zamanda $(a-b)(a+b)$ olarak da ifade edilebiliyor. Bu ifade, geometrik olarak kalan L şeklindeki parçanın yeniden düzenlenerek bir dikdörtgen oluşturulmasıyla elde edilir. Bu dikdörtgenin bir kenarı $a-b$, diğer kenarı ise $a+b$ uzunluğundadır.
• Özdeşliğin Tespiti: Her iki ifade de (hem $a^2 - b^2$ hem de $(a-b)(a+b)$) aynı geometrik şeklin alanını temsil ettiğine göre, bu iki ifade birbirine eşit olmalıdır. Bu eşitlik bize aradığımız özdeşliği verir: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
• Seçeneklerin İncelenmesi: Şimdi verilen seçeneklere bakalım: A) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, B) $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, C) $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, D) $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
• Doğru Seçeneğin Belirlenmesi: Geometrik modelleme ile elde ettiğimiz $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliği, B seçeneğinde verilen özdeşlikle birebir örtüşmektedir. Bu özdeşlik, matematikte "İki Kare Farkı Özdeşliği" olarak bilinir.

Cevap B seçeneğidir.