10. Sınıf Tema 7: Veriden Olasılığa Test 2

10. Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı matematikten, %70'i ise fen bilimlerinden başarılıdır. Her iki dersten de başarılı olan öğrencilerin oranı %40'tır. Rastgele seçilen bir öğrencinin yalnızca bir dersten başarılı olma olasılığı kaçtır?

A) 0,2
B) 0,3
C) 0,5
D) 0,7

Merhaba sevgili öğrencilerim! Bu problem, olasılık konusundaki temel bilgilerinizi ve küme işlemlerini ne kadar iyi anladığınızı ölçmek için harika bir örnektir. Gelin, bu soruyu adım adım, dikkatlice inceleyerek çözelim.

• Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Sembollerle İfade Edelim

  Öncelikle soruda bize verilen bilgileri matematiksel sembollerle ifade edelim. Bu, problemi daha net görmemizi sağlar.

  • Matematikten başarılı olma olasılığına $P(M)$ diyelim. Bize %60 verildiği için $P(M) = 0.60$.
  • Fen bilimlerinden başarılı olma olasılığına $P(F)$ diyelim. Bize %70 verildiği için $P(F) = 0.70$.
  • Her iki dersten de başarılı olma olasılığına $P(M \cap F)$ diyelim (Matematik ve Fen bilimleri kesişimi). Bize %40 verildiği için $P(M \cap F) = 0.40$.

  Bizden istenen ise, rastgele seçilen bir öğrencinin yalnızca bir dersten başarılı olma olasılığıdır.

• Adım 2: Sadece Matematikten Başarılı Olma Olasılığını Bulalım

  Bir öğrencinin sadece matematikten başarılı olması demek, matematikten başarılı olup fen bilimlerinden başarılı olmaması demektir. Bunu bulmak için, matematikten başarılı olanların tümünden, hem matematikten hem de fen bilimlerinden başarılı olanları çıkarmamız gerekir.

  $P(\text{Sadece M}) = P(M) - P(M \cap F)$

  $P(\text{Sadece M}) = 0.60 - 0.40 = 0.20$

  Yani, öğrencilerin %20'si sadece matematikten başarılıdır.

• Adım 3: Sadece Fen Bilimlerinden Başarılı Olma Olasılığını Bulalım

  Benzer şekilde, bir öğrencinin sadece fen bilimlerinden başarılı olması demek, fen bilimlerinden başarılı olup matematikten başarılı olmaması demektir. Bunu bulmak için, fen bilimlerinden başarılı olanların tümünden, hem matematikten hem de fen bilimlerinden başarılı olanları çıkarmamız gerekir.

  $P(\text{Sadece F}) = P(F) - P(M \cap F)$

  $P(\text{Sadece F}) = 0.70 - 0.40 = 0.30$

  Yani, öğrencilerin %30'u sadece fen bilimlerinden başarılıdır.

• Adım 4: Yalnızca Bir Dersten Başarılı Olma Olasılığını Hesaplayalım

  Şimdi bizden istenen, yalnızca bir dersten başarılı olma olasılığıdır. Bu durum, öğrencinin ya sadece matematikten başarılı olması ya da sadece fen bilimlerinden başarılı olması anlamına gelir. Bu iki durum birbirini dışladığı (aynı anda gerçekleşemediği) için, bu olasılıkları toplamamız yeterlidir.

  $P(\text{Yalnızca Bir Dersten Başarılı}) = P(\text{Sadece M}) + P(\text{Sadece F})$

  $P(\text{Yalnızca Bir Dersten Başarılı}) = 0.20 + 0.30 = 0.50$

  Demek ki, rastgele seçilen bir öğrencinin yalnızca bir dersten başarılı olma olasılığı %50'dir.

Cevap C seçeneğidir.