Bir marangoz 120 cm ve 150 cm uzunluğundaki tahta parçalarını eşit uzunlukta parçalara ayıracaktır. Her parçanın uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayı olduğuna ve parçaların mümkün olduğunca uzun olması istendiğine göre, toplam kaç parça tahta elde edilir?
A) 9Bu problemde, marangozun elindeki farklı uzunluktaki tahta parçalarını eşit uzunlukta ve mümkün olduğunca uzun parçalara ayırması gerekiyor. Bu tür problemler genellikle En Büyük Ortak Bölen (EBOB) kavramıyla çözülür. Hadi adım adım ilerleyelim:
Adım 1: Her bir parçanın uzunluğunu bulalım.
Marangozun elinde 120 cm ve 150 cm uzunluğunda iki tahta parçası var. Bu parçaları eşit uzunlukta ve mümkün olduğunca uzun parçalara ayırmak demek, 120 ve 150 sayılarının En Büyük Ortak Böleni (EBOB)'ni bulmak demektir. EBOB, her iki sayıyı da bölen en büyük sayıdır.
EBOB'u bulmak için asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanalım:
$120 = 2 \times 60 = 2 \times 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 2 \times 15 = 2^3 \times 3 \times 5$
$150 = 2 \times 75 = 2 \times 3 \times 25 = 2 \times 3 \times 5^2$
Ortak asal çarpanları en küçük üsleriyle çarparak EBOB'u buluruz:
EBOB$(120, 150) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30$
Yani, her bir tahta parçasının uzunluğu 30 cm olmalıdır.
Adım 2: Her bir tahta parçasından kaç adet elde edildiğini bulalım.
Şimdi, 120 cm ve 150 cm uzunluğundaki tahtalardan 30 cm'lik parçalar kesildiğinde kaçar adet parça elde edildiğini hesaplayalım:
120 cm'lik tahtadan elde edilen parça sayısı: $120 \text{ cm} / 30 \text{ cm/parça} = 4 \text{ parça}$
150 cm'lik tahtadan elde edilen parça sayısı: $150 \text{ cm} / 30 \text{ cm/parça} = 5 \text{ parça}$
Adım 3: Toplam parça sayısını bulalım.
Elde edilen tüm parçaları toplayarak toplam parça sayısını buluruz:
Toplam parça sayısı = $4 \text{ parça} + 5 \text{ parça} = 9 \text{ parça}$
Bu durumda, marangoz toplam 9 parça tahta elde edecektir.
Cevap A seçeneğidir.
