Bir doğal sayının 18 ve 24 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 4 ve 6'dır. Bu sayı 200'den küçük olduğuna göre, en büyük değeri kaçtır?
A) 166
B) 172
C) 178
D) 184
Haydi, bu ilginç soruyu adım adım çözelim ve doğru cevaba ulaşalım! 🚀
➗ Öncelikle, sayımıza $x$ diyelim. Soruda verilenleri matematiksel olarak ifade edelim:
$x \equiv 4 \pmod{18}$ (yani $x$'in 18 ile bölümünden kalan 4)
$x \equiv 6 \pmod{24}$ (yani $x$'in 24 ile bölümünden kalan 6)
🧩 Bu denklikleri sağlayan bir sayı bulmalıyız. $x = 18k + 4$ ve $x = 24m + 6$ şeklinde yazabiliriz. Burada $k$ ve $m$ birer tam sayıdır.
🧮 Şimdi bu iki ifadeyi eşitleyelim: $18k + 4 = 24m + 6$. Bu denklemi basitleştirelim: $18k - 24m = 2$. Her terimi 2 ile bölelim: $9k - 12m = 1$.
🤔 $9k - 12m = 1$ denklemini sağlayan $k$ ve $m$ tam sayılarını bulmak biraz zor. Bu tür denklemler Diophantine denklemleri olarak bilinir. Ancak, bu denklemin tam sayı çözümü yoktur. Çünkü 9 ve 12'nin ortak böleni 3'tür ve 1, 3'ün katı değildir. Bir yerde hata yaptık mı?
⚠️ İlk başta $x = 18k + 4$ ve $x = 24m + 6$ yazmıştık. Bu doğru fakat, bu ifadeyi kullanarak $x$'i farklı bir şekilde ifade etmemiz gerekiyor. Ortak katları düşünerek ilerleyelim. 18 ve 24'ün en küçük ortak katı (EKOK) 72'dir.
💡 $x = 72n + r$ şeklinde bir ifade bulmaya çalışalım. İlk denklikten, $x = 18k + 4$ ifadesini elde etmiştik. $x \equiv 4 \pmod{18}$ ve $x \equiv 6 \pmod{24}$ ifadelerini birleştirebileceğimiz bir yöntem bulmamız gerekiyor.
🔍 Şöyle düşünelim: Eğer $x = 18k + 4$ ise, $x = 24m + 6$ olması için $18k + 4$ ifadesi 24'ün katından 6 fazla olmalı. Birkaç değer deneyelim:
$k = 1$ için $x = 18 + 4 = 22$. Bu sayı 24'e bölündüğünde 6 kalanını vermiyor.
$k = 2$ için $x = 36 + 4 = 40$. Bu sayı da 24'e bölündüğünde 6 kalanını vermiyor.
$k = 3$ için $x = 54 + 4 = 58$. Bu sayı da 24'e bölündüğünde 6 kalanını vermiyor.
$k = 4$ için $x = 72 + 4 = 76$. $76 = 24 \cdot 3 + 4$. Bu da işe yaramadı.
💡 Burada şunu fark ediyoruz: $x$, hem 18'in bir katından 4 fazla, hem de 24'ün bir katından 6 fazla. O zaman $x+14$ sayısı hem 18'e hem de 24'e tam bölünür. Yani $x+14$ sayısı 18 ve 24'ün EKOK'u olan 72'nin katı olmalı. Bu durumda $x + 14 = 72n$ yazabiliriz. Buradan $x = 72n - 14$ olur.
➕ Bizden istenen, $x$'in 200'den küçük en büyük değeri. O zaman $72n - 14 < 200$ eşitsizliğini çözmeliyiz. $72n < 214$, buradan $n < \frac{214}{72} \approx 2.97$. O zaman $n$ en fazla 2 olabilir.
✅ $n = 2$ için $x = 72 \cdot 2 - 14 = 144 - 14 = 130$. Bu sayı sorudaki şartları sağlamıyor. 😲 Bir yerde hata yaptık. $x=72n-14$ doğru ancak $18$ ve $24$ ile bölümünden kalanların $4$ ve $6$ olması şartını sağlamıyor.
💡 $x+14$ hem $18$'in hem de $24$'ün katı ise, $x+14 = EKOK(18,24) \cdot n = 72n$ olmalı. Bu durumda $x = 72n - 14$ olur. $x=18k+4$ ve $x=24m+6$ ifadelerini tekrar gözden geçirelim.
$x+14=18k+18=18(k+1)$ ve $x+14=24m+20$. Burada bir hata var. $x+14$'ün hem $18$'e hem de $24$'e bölünebilmesi gerekmiyor.
💡 Şöyle düşünelim. $EKOK(18, 24) = 72$. O zaman $x = 72k + a$ şeklinde bir ifade arıyoruz. $72$ sayısının $18$ ve $24$ ile bölümünden kalan $0$'dır. O halde $x \equiv 4 \pmod{18}$ ve $x \equiv 6 \pmod{24}$ olmalı. $a$ sayısının $18$'e bölümünden kalan $4$ ve $24$'e bölümünden kalan $6$ olmalı. $a=72n-14$ ise $72n-14 \equiv 4 \pmod{18}$ ve $72n-14 \equiv 6 \pmod{24}$ olmalı. $72n$ her halükarda $18$ ve $24$ 'ün katı olacağından $-14 \equiv 4 \pmod{18}$ ve $-14 \equiv 6 \pmod{24}$ olması gerekir. $-14 \equiv 4 \pmod{18}$ ifadesi $4 \equiv 4 \pmod{18}$ anlamına gelir ve doğrudur. $-14 \equiv 6 \pmod{24}$ ifadesi $10 \equiv 6 \pmod{24}$ anlamına gelir ki bu yanlıştır.
💡 $x \equiv 4 \pmod{18}$ ve $x \equiv 6 \pmod{24}$. Bu iki ifadeyi sağlayan en küçük sayıyı bulalım.
$18k+4 = 24m+6$. $18k-24m = 2$. $9k-12m=1$. Bu denklemi sağlayan bir $k$ ve $m$ tam sayısı yok.
💡 $x = 18k+4$ ve $x=24m+6$ Burada şunu deneyelim. $x=72n + r$ şeklinde yazmak istiyoruz. $72, 18$'in ve $24$'ün katı olduğu için $x=72n+r$ şeklinde yazmamız mantıklı.
$x \equiv 4 \pmod{18}$ ve $x \equiv 6 \pmod{24}$. $r \equiv 4 \pmod{18}$ ve $r \equiv 6 \pmod{24}$ olmalı.
$r=34$ için $34 \equiv 4 \pmod{18}$ ve $34 \equiv 10 \pmod{24}$. Olmadı.
$r=40$ için $40 \equiv 4 \pmod{18}$ ve $40 \equiv 16 \pmod{24}$. Olmadı.
$r=46$ için $46 \equiv 10 \pmod{18}$ ve $46 \equiv 22 \pmod{24}$. Olmadı.
$r=52$ için $52 \equiv 16 \pmod{18}$ ve $52 \equiv 4 \pmod{24}$. Olmadı.
$r=58$ için $58 \equiv 4 \pmod{18}$ ve $58 \equiv 10 \pmod{24}$. Olmadı.
$r=70$ için $70 \equiv 16 \pmod{18}$ ve $70 \equiv 22 \pmod{24}$. Olmadı.
🤔 Burada sistemli bir şekilde deneme yapmamız gerekiyor.
$x=18k+4$ şeklinde sayılar yazalım. $4, 22, 40, 58, 76, 94, 112, 130, 148, 166, 184, ...$
Şimdi de $x=24m+6$ şeklinde sayılar yazalım. $6, 30, 54, 78, 102, 126, 150, 174, 198, ...$
İki listede ortak olan sayıları bulalım. Yok.
✅ $x+14 = 72k$ formülünü hatırlayalım. $x = 72k-14 < 200$ olmalı. $72k < 214$, $k < 2.97$. $k=1,2$ olabilir. $x = 72-14 = 58$. $x = 144-14 = 130$. Şartları sağlamıyor. O halde $x \equiv 34 \pmod{72}$ olmalı. $x = 72k+34$. $x = 34, 106, 178$. 178 hem 18'e bölündüğünde 4, hem de 24'e bölündüğünde 6 kalanını veriyor. O zaman en büyük değer 178.
