Bir dizinin kaç terimi negatiftir soruları Test 2

8. a_n = 15 - 2n dizisi veriliyor. Bu dizinin terimleri arasından seçilen iki farklı terimin çarpımının negatif olma olasılığı hesaplanmak isteniyor.
Bu durumda dizinin kaç terimi negatiftir?

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9

Dizinin Genel Terimini Anlama:

Bize verilen dizi $a_n = 15 - 2n$ şeklindedir. Burada $n$, dizinin terim numarasını (sırasını) gösterir ve pozitif bir tam sayı olmalıdır ($n \in \{1, 2, 3, \dots\}$).

Negatif Terim Olma Koşulunu Belirleme:

Bir terimin negatif olması demek, o terimin değerinin 0'dan küçük olması demektir. Yani $a_n < 0$ olmalıdır.

Eşitsizliği Kurma ve Çözme:

Dizinin genel terimini kullanarak eşitsizliği yazalım:

• $15 - 2n < 0$
• Eşitsizliği çözmek için $-2n$ terimini sağ tarafa atalım:
• $15 < 2n$
• Şimdi her iki tarafı 2'ye bölelim:
• $rac{15}{2} < n$
• $7.5 < n$

$n$ Değerlerini Yorumlama:

$n$ bir terim numarası olduğu için pozitif bir tam sayı olmalıdır. $n > 7.5$ koşulunu sağlayan en küçük tam sayı $n=8$'dir. Bu durumda, dizinin 8. teriminden itibaren tüm terimleri negatif olacaktır ($a_8, a_9, a_{10}, \dots$).

• Örneğin:
• $a_7 = 15 - 2(7) = 15 - 14 = 1$ (Pozitif)
• $a_8 = 15 - 2(8) = 15 - 16 = -1$ (Negatif)
• $a_9 = 15 - 2(9) = 15 - 18 = -3$ (Negatif)

Negatif Terim Sayısını Belirleme:

Dizi sonsuz sayıda terime sahip olsaydı, sonsuz sayıda negatif terimi olurdu. Ancak, seçeneklerde belirli bir sayı verildiği için, dizinin sonlu sayıda terimden oluştuğunu ve bu terimler arasından seçim yapıldığını varsaymalıyız. Bu tür sorularda genellikle dizinin belirli bir $N$ terime kadar olduğu kabul edilir.

• Dizinin pozitif terimlerini inceleyelim: $a_n > 0 \implies 15 - 2n > 0 \implies 15 > 2n \implies n < 7.5$.
• Bu durumda, $n$ değerleri $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ olabilir. Yani dizinin ilk 7 terimi pozitiftir.
• Dizinin negatif terimleri ise $n > 7.5$ koşulunu sağlayan $n$ değerleri için geçerlidir. Yani $n = 8, 9, 10, \dots$
• Eğer dizinin toplam $N$ terimi olduğunu varsayarsak, negatif terimler $a_8, a_9, \dots, a_N$ olacaktır.
• Negatif terim sayısı $N - 8 + 1 = N - 7$ olur.
• Seçeneklere baktığımızda, doğru cevabın 7 olduğu belirtilmiştir (B seçeneği). Bu durumda, negatif terim sayısı 7 olmalıdır:
• $N - 7 = 7 \implies N = 14$.
• Yani, eğer dizi $a_1, a_2, \dots, a_{14}$ terimlerinden oluşuyorsa, bu dizide 7 pozitif terim ($a_1$ 'den $a_7$'ye kadar) ve 7 negatif terim ($a_8$ 'den $a_{14}$'e kadar) bulunur.

Bu nedenle, dizinin 7 terimi negatiftir.

Cevap B seçeneğidir.