Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım çözerek, bir karenin alanı ve çevresi gibi temel geometrik kavramları cebirsel ifadelerle nasıl birleştireceğimizi öğrenelim. Hazırsanız başlayalım!
- Adım 1: Karenin Kenar Uzunluğunu Belirleyelim
- Soruda bize bir kenarı $(2x+1)$ birim olan bir kare verildiği söyleniyor. Karenin tüm kenarları eşit uzunlukta olduğu için, bu bilgi hem alan hem de çevre hesaplamamız için yeterlidir.
- Adım 2: Karenin Alanını Hesaplayalım
- Bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla (karesi alınarak) bulunur. Yani, Alan = $(\text{kenar uzunluğu})^2$.
- Bizim karemizin kenar uzunluğu $(2x+1)$ birim olduğu için, alanı şu şekilde hesaplarız:
- Alan $= (2x+1)^2$
- Bu ifadeyi açmak için $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ özdeşliğini kullanırız. Burada $a=2x$ ve $b=1$'dir.
- Alan $= (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (1) + (1)^2$
- Alan $= 4x^2 + 4x + 1$ birimkaredir.
- Adım 3: Karenin Çevresini Hesaplayalım
- Bir karenin çevresi, dört kenar uzunluğunun toplamıdır. Karenin tüm kenarları eşit olduğu için, Çevre = $4 \times (\text{kenar uzunluğu})$ formülünü kullanabiliriz.
- Bizim karemizin kenar uzunluğu $(2x+1)$ birim olduğu için, çevresi şu şekilde hesaplanır:
- Çevre $= 4 \cdot (2x+1)$
- Şimdi dağılma özelliğini kullanarak ifadeyi açalım:
- Çevre $= 4 \cdot (2x) + 4 \cdot (1)$
- Çevre $= 8x + 4$ birimdir.
- Adım 4: Alan ile Çevrenin Toplamını Bulalım
- Sorunun bizden istediği, karenin alanı ile çevresinin toplamıdır. Şimdi bulduğumuz alan ve çevre ifadelerini toplayalım:
- Toplam $= (\text{Alan}) + (\text{Çevre})$
- Toplam $= (4x^2 + 4x + 1) + (8x + 4)$
- Şimdi benzer terimleri bir araya getirelim (yani $x^2$ terimlerini, $x$ terimlerini ve sabit sayıları kendi aralarında toplayalım):
- $x^2$ terimi: $4x^2$ (başka $x^2$ terimi yok)
- $x$ terimleri: $4x + 8x = 12x$
- Sabit terimler: $1 + 4 = 5$
- Böylece toplam ifade şu şekilde olur:
- Toplam $= 4x^2 + 12x + 5$
- Adım 5: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz $4x^2 + 12x + 5$ ifadesini seçeneklerle kontrol ettiğimizde, bu ifadenin A seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.
Cevap A seçeneğidir.
