Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için standart sapmanın ne anlama geldiğini ve veri setindeki her bir değere sabit bir sayı eklemenin bu istatistiksel ölçüyü nasıl etkilediğini anlamamız gerekiyor.
- Standart Sapma Nedir? Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını, yani verilerin ne kadar dağınık olduğunu gösteren bir ölçüdür. Düşük standart sapma, verilerin ortalamaya yakın toplandığını; yüksek standart sapma ise verilerin ortalamadan daha geniş bir alana yayıldığını gösterir.
- Notlara Sabit Bir Sayı Eklemenin Etkisi: Diyelim ki öğrencilerinizin notları $x_1, x_2, ..., x_{10}$ olsun ve bu notların ortalaması $\bar{x}$ olsun. Standart sapma, her bir notun ortalamadan farklarının karelerinin ortalamasının kareköküdür. Yani, $s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$ (veya $n$ eğer popülasyon ise).
- Şimdi, tüm öğrencilerin notlarına 5 puan ekleyelim. Yeni notlar $x_1+5, x_2+5, ..., x_{10}+5$ olacaktır.
- Yeni Ortalamanın Hesaplanması: Eğer her bir nota sabit bir sayı (örneğin 5) eklersek, veri setinin yeni ortalaması da eski ortalamanın 5 fazlası olacaktır. Yani, yeni ortalama $\bar{x}_{yeni} = \bar{x} + 5$ olur.
- Ortalamadan Farkların İncelenmesi: Standart sapmayı hesaplarken kullandığımız temel bileşen, her bir veri noktasının ortalamadan farkıdır ($x_i - \bar{x}$). Yeni durumda bu farklara bakalım:
- Yeni not: $x_i + 5$
- Yeni ortalama: $\bar{x} + 5$
- Yeni fark: $(x_i + 5) - (\bar{x} + 5) = x_i + 5 - \bar{x} - 5 = x_i - \bar{x}$
- Gördüğünüz gibi, her bir notun yeni ortalamadan farkı, eski notun eski ortalamadan farkıyla tamamen aynıdır! Yani, her bir veri noktasının ortalamaya olan uzaklığı değişmemiştir.
- Standart Sapmaya Etkisi: Madem ki her bir notun ortalamadan farkları değişmedi, bu farkların kareleri de değişmez, bu karelerin toplamı da değişmez, dolayısıyla varyans (standart sapmanın karesi) da değişmez. Varyans değişmediği için standart sapma da değişmez.
- Bu nedenle, tüm öğrencilerin notlarına 5 puan eklenmesi, notların dağılımının genişliğini veya daralığını değiştirmez; sadece tüm dağılımı sayı doğrusu üzerinde 5 birim sağa kaydırır.
- Başlangıçtaki standart sapma 4.2 olduğuna göre, yeni standart sapma da 4.2 olacaktır.
Cevap A seçeneğidir.
