Bu soruda, bir veri setindeki tüm değerler belirli bir oranda artırıldığında standart sapmanın nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar saptığını gösteren önemli bir istatistiksel ölçüdür.
- Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Başlangıçtaki standart sapma (eski standart sapma) $ = 45$ birimdir.
- Üretim miktarları %20 artırılıyor. Bu, her bir üretim miktarının kendisinin $1.20$ katına çıktığı anlamına gelir. Yani, eğer bir makine $x$ birim üretiyorsa, yeni durumda $1.20 \cdot x$ birim üretecektir.
- Standart Sapmanın Özelliğini Hatırlayalım:
- Bir veri setindeki her bir değeri sabit bir $a$ sayısı ile çarpar ve/veya sabit bir $b$ sayısı eklersek (yani, her $x$ değeri için yeni değer $a \cdot x + b$ olursa), yeni standart sapma, eski standart sapmanın $|a|$ katı olur.
- Matematiksel olarak ifade edersek, eğer eski standart sapma $\sigma_{eski}$ ise ve yeni değerler $y = a \cdot x + b$ şeklinde oluşuyorsa, yeni standart sapma $\sigma_{yeni} = |a| \cdot \sigma_{eski}$ olur.
- Burada dikkat etmemiz gereken nokta, veri setine sabit bir sayı eklenmesi veya çıkarılmasının (yani $b$ değerinin) standart sapmayı değiştirmemesidir. Standart sapma sadece veri setinin yayılımını etkileyen çarpma/bölme işlemleriyle değişir.
- Soruyu Çözüme Uygulayalım:
- Üretim miktarları %20 artırıldığına göre, her bir üretim miktarı $x$ için yeni miktar $x + 0.20x = 1.20x$ olacaktır.
- Bu durumda, yukarıdaki kuralımızdaki $a$ değeri $1.20$ olurken, $b$ değeri $0$ olur (çünkü sadece çarpma işlemi var, ekleme yok).
- Eski standart sapma $\sigma_{eski} = 45$ birimdir.
- Yeni standart sapmayı bulmak için formülü kullanalım: $\sigma_{yeni} = |a| \cdot \sigma_{eski}$.
- Değerleri yerine koyarsak: $\sigma_{yeni} = |1.20| \cdot 45$.
- $\sigma_{yeni} = 1.20 \cdot 45$.
- Hesaplamayı yapalım: $1.20 \cdot 45 = (1 + 0.20) \cdot 45 = 45 + (0.20 \cdot 45) = 45 + 9 = 54$.
- Sonuç:
- Üretim miktarları %20 artırıldığında, yeni standart sapma $54$ birim olur.
Cevap B seçeneğidir.
