Matematik dersinde polinomlar konusunu işleyen bir öğrenci, aşağıdaki notları almıştır:
- Üsler doğal sayı olmalı
- Katsayılar gerçek sayı olmalı
- Sonlu sayıda terim içermeli
Buna göre hangi fonksiyon bu koşulların tümünü sağlamaz?
A) $x^3 - 2x + 5$
B) $2x^{-2} + 3x - 1$
C) $4x^4 + x^2 - 7$
D) $x^5 + 2x^3 + x$
Merhaba sevgili öğrenciler,
Polinomlar konusu matematikte temel bir yapı taşıdır ve bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için belirli kurallara dikkat etmemiz gerekir. Öğrencinin aldığı notlar, bu kuralları çok güzel özetlemiş:
- Üsler doğal sayı olmalı: Bir polinomdaki değişkenlerin kuvvetleri (üsleri) $0, 1, 2, 3, ...$ gibi doğal sayılar olmalıdır. Negatif sayılar, kesirli sayılar veya köklü ifadeler üs olarak bulunamaz.
- Katsayılar gerçek sayı olmalı: Her bir terimin önündeki sayı (katsayı) bir gerçek sayı olmalıdır.
- Sonlu sayıda terim içermeli: Bir polinom, belirli ve sayılabilir sayıda terimden oluşmalıdır. Sonsuz sayıda terim içeren ifadeler polinom değildir.
Şimdi, verilen fonksiyonları bu üç koşul açısından tek tek inceleyelim ve hangi fonksiyonun tüm koşulları sağlamadığını bulalım:
- A) $x^3 - 2x + 5$:
Bu fonksiyonda terimlerin üsleri $3, 1$ ve sabit terim olan $5$'in üssü $0$ olarak düşünülebilir ($5x^0$). Tüm bu üsler ($3, 1, 0$) doğal sayıdır. Katsayılar ($1, -2, 5$) gerçek sayılardır ve fonksiyon $3$ terimden oluştuğu için sonludur. Bu fonksiyon tüm koşulları sağlar, dolayısıyla bir polinomdur.
- B) $2x^{-2} + 3x - 1$:
Bu fonksiyonda $2x^{-2}$ teriminin üssü $-2$'dir. Öğrencinin notlarında belirtildiği gibi, üslerin doğal sayı ($0, 1, 2, ...$) olması gerekir. $-2$ bir doğal sayı değildir. Bu durum, "üsler doğal sayı olmalı" koşulunu ihlal eder. Diğer terimlerin üsleri ($1, 0$) doğal sayı olsa ve katsayılar ($2, 3, -1$) gerçek sayı olsa bile, tek bir terimin bile bu koşulu sağlamaması, ifadenin polinom olmasını engeller.
- C) $4x^4 + x^2 - 7$:
Bu fonksiyonda terimlerin üsleri $4, 2$ ve sabit terim olan $-7$'nin üssü $0$'dır. Tüm bu üsler ($4, 2, 0$) doğal sayıdır. Katsayılar ($4, 1, -7$) gerçek sayılardır ve fonksiyon $3$ terimden oluştuğu için sonludur. Bu fonksiyon tüm koşulları sağlar, dolayısıyla bir polinomdur.
- D) $x^5 + 2x^3 + x$:
Bu fonksiyonda terimlerin üsleri $5, 3$ ve $x$'in üssü $1$'dir. Tüm bu üsler ($5, 3, 1$) doğal sayıdır. Katsayılar ($1, 2, 1$) gerçek sayılardır ve fonksiyon $3$ terimden oluştuğu için sonludur. Bu fonksiyon tüm koşulları sağlar, dolayısıyla bir polinomdur.
İncelemelerimiz sonucunda, $2x^{-2} + 3x - 1$ fonksiyonunun $x^{-2}$ terimi nedeniyle üslerin doğal sayı olma koşulunu sağlamadığı açıkça görülmektedir. Bu nedenle bu fonksiyon bir polinom değildir.
Cevap B seçeneğidir.
