Bu soruda, asal çarpanları sadece 2 ve 3 olan, aynı zamanda iki basamaklı ve bu koşulları sağlayan en küçük doğal sayıyı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Asal Çarpan Kavramını Anlayalım
- Bir sayının asal çarpanları, o sayıyı oluşturan asal sayılardır. Örneğin, 10 sayısının asal çarpanları 2 ve 5'tir ($10 = 2 \times 5$). Soru bize sayının asal çarpanlarının sadece 2 ve 3 olmasını istiyor. Bu demektir ki, aradığımız sayı sadece 2 ve 3'ün kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabilmelidir. Yani sayı $2^a \times 3^b$ şeklinde olmalıdır (burada $a$ ve $b$ sıfır veya pozitif tam sayılardır).
- 2. Adım: İki Basamaklı Olma Koşulunu Hatırlayalım
- Aradığımız sayı iki basamaklı olmalı. Yani 10 ile 99 arasında bir sayı olmalı.
- 3. Adım: En Küçük Sayıyı Bulmak İçin Denemeler Yapalım
- Sadece 2 ve 3 asal çarpanlarını kullanarak iki basamaklı sayılar oluşturmaya başlayalım ve en küçüğünü arayalım. Sayıları küçükten büyüğe doğru denemek en mantıklı yoldur.
- Sadece 2'nin kuvvetleri:
$2^1 = 2$ (tek basamaklı)
$2^2 = 4$ (tek basamaklı)
$2^3 = 8$ (tek basamaklı)
$2^4 = 16$ (iki basamaklı, bu bir adayımız)
$2^5 = 32$ (iki basamaklı, bu da bir aday)
$2^6 = 64$ (iki basamaklı, bu da bir aday)
- Sadece 3'ün kuvvetleri:
$3^1 = 3$ (tek basamaklı)
$3^2 = 9$ (tek basamaklı)
$3^3 = 27$ (iki basamaklı, bu da bir adayımız)
$3^4 = 81$ (iki basamaklı, bu da bir aday)
- Hem 2 hem de 3'ün kuvvetlerini kullanarak (küçükten büyüğe):
$2 \times 3 = 6$ (tek basamaklı)
$2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$ (iki basamaklı, bu da bir adayımız!)
$2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$ (iki basamaklı, bu da bir adayımız!)
$2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24$ (iki basamaklı, bu da bir adayımız!)
$2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ (iki basamaklı, bu da bir adayımız!)
Diğer kombinasyonlar (örneğin $2^4 \times 3 = 48$, $2 \times 3^3 = 54$) daha büyük sayılar verecektir.
- 4. Adım: Aday Sayıları Karşılaştıralım
- Şimdiye kadar bulduğumuz iki basamaklı aday sayılar şunlardır: 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 81.
- Bu sayıları küçükten büyüğe sıraladığımızda en küçük sayı 12'dir.
- 5. Adım: Son Kontrol
- 12 sayısı iki basamaklı mı? Evet.
- 12 sayısının asal çarpanları sadece 2 ve 3 mü? $12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$. Evet, asal çarpanları sadece 2 ve 3'tür.
- Bu koşulları sağlayan en küçük sayı 12'dir.
Cevap A seçeneğidir.
