Bir f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir. f(3) = 5 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) f tek fonksiyondurMerhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetrik olması durumunu ve bu bilginin fonksiyonun özellikleriyle nasıl ilişkilendirildiğini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.
Bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetrik olması demek, eğer grafikte $(x, y)$ noktası varsa, o zaman grafikte $(-x, -y)$ noktasının da mutlaka bulunması demektir. Fonksiyonlar için $y = f(x)$ olduğundan, bu durum şu anlama gelir: Eğer $(x, f(x))$ noktası grafikteyse, o zaman $(-x, -f(x))$ noktası da grafikte olmalıdır.
Bu tanım, bize fonksiyonun temel bir özelliğini verir: $f(-x) = -f(x)$. Bu eşitliği sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon denir.
Soruda bize $f$ fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetrik olduğu söyleniyor. Bu bilgiye göre, Adım 1'de öğrendiğimiz gibi, $f$ fonksiyonu kesinlikle bir tek fonksiyondur. Yani, her $x$ değeri için $f(-x) = -f(x)$ eşitliği geçerlidir.
Ayrıca, bize $f(3) = 5$ olduğu bilgisi verilmiş.
Evet, Adım 1 ve Adım 2'de açıkladığımız gibi, grafiği orijine göre simetrik olan bir fonksiyon tanım gereği tek fonksiyondur. Bu ifade doğrudur.
Çift fonksiyonlar $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlar ve grafikleri y-eksenine göre simetriktir. Orijine göre simetrik olmak, y-eksenine göre simetrik olmaktan farklıdır. Dolayısıyla, bu ifade yanlıştır.
Fonksiyonumuzun tek fonksiyon olduğunu biliyoruz, yani $f(-x) = -f(x)$ eşitliği geçerlidir. Bu eşitlikte $x$ yerine $3$ yazarsak:
$f(-3) = -f(3)$
Soruda bize $f(3) = 5$ olarak verilmişti. Bu değeri yerine koyarsak:
$f(-3) = -(5)$
$f(-3) = -5$
Bu ifade kesinlikle doğrudur.
Tek fonksiyonlar için $f(-x) = -f(x)$ eşitliği geçerlidir. Eğer $x=0$ fonksiyonun tanım kümesinde ise, $f(-0) = -f(0)$ olur, bu da $f(0) = -f(0)$ anlamına gelir. Bu eşitliği sağlayan tek değer $f(0) = 0$'dır. Ancak, bir tek fonksiyonun tanım kümesinde $0$ olmak zorunda değildir (örneğin, $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonu tek fonksiyondur ama $x=0$ için tanımsızdır). Dolayısıyla, bu ifade her zaman kesinlikle doğru değildir.
A seçeneği doğru olsa da, soruda $f(3)=5$ gibi spesifik bir bilgi verilmiş ve bu bilgiyi kullanarak bir sonuç çıkarmamız bekleniyor. C seçeneği, hem fonksiyonun orijine göre simetrik olma özelliğini (yani tek fonksiyon olma özelliğini) hem de verilen $f(3)=5$ bilgisini doğrudan kullanarak elde edilen kesin bir sonuçtur. D seçeneği ise her zaman geçerli değildir.
Bu nedenle, verilen bilgiler ışığında kesinlikle doğru olan ifade C seçeneğidir.
Cevap C seçeneğidir.
