Belirli integral nedir Test 2

Bir kültürdeki bakteri sayısının artış hızı \( B'(t) = 100e^{0.1t} \) olarak veriliyor. Buna göre, ilk 10 saatteki bakteri artışı kaçtır? (\( e \approx 2.718 \))

A) \( 1000(e - 1) \)
B) \( 1000e \)
C) \( 100(e - 1) \)
D) \( 100e \)

Bakteri sayısındaki artışı bulmak için harika bir yolculuğa çıkıyoruz! 🚀

• 🧪 İlk olarak, bakteri sayısının artış hızını ifade eden fonksiyonu yazalım: $B'(t) = 100e^{0.1t}$. Bu, zamana göre bakteri sayısındaki değişimi gösteriyor.
• 📐 Şimdi, ilk 10 saatteki toplam bakteri artışını bulmak için, bu fonksiyonun integralini almamız gerekiyor. Yani, $\int_{0}^{10} B'(t) dt = \int_{0}^{10} 100e^{0.1t} dt$ işlemini yapacağız.
• 🧮 İntegrali çözelim: $\int_{0}^{10} 100e^{0.1t} dt = 100 \int_{0}^{10} e^{0.1t} dt$. $u = 0.1t$ dersek, $du = 0.1 dt$ ve $dt = 10 du$ olur. Sınırlar da değişir: $t=0$ için $u=0$, $t=10$ için $u=1$. Bu durumda integral: $100 \int_{0}^{1} e^{u} \cdot 10 du = 1000 \int_{0}^{1} e^{u} du$ olur.
• 💡 İntegrali hesaplayalım: $1000 \int_{0}^{1} e^{u} du = 1000 [e^{u}]_{0}^{1} = 1000 (e^{1} - e^{0}) = 1000 (e - 1)$.
• ✅ Doğru Seçenek A'dır.