Belirli integralin temel teoremine göre, \( \int_a^b f(x) \, dx \) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) \( f(b) - f(a) \)
B) \( F(a) - F(b) \)
C) \( F(b) - F(a) \), burada \( F \) fonksiyonu \( f \)'nin bir ters türevidir
D) \( f(a) + f(b) \)
Sevgili öğrenciler, bu soru belirli integralin temel teoremini anlamamızı gerektiriyor. Belirli integral, bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki (örneğin $a$'dan $b$'ye) grafiği ile x-ekseni arasında kalan alanı hesaplamak için kullanılır. Ancak bu alanı doğrudan geometrik yöntemlerle bulmak her zaman kolay değildir. İşte bu noktada belirli integralin temel teoremi devreye girer ve bize çok güçlü bir araç sunar.
- Belirli İntegralin Temel Teoremi (İkinci Kısım): Bu teorem, bir fonksiyonun belirli integralini, o fonksiyonun ters türevini (ilkel fonksiyonunu) kullanarak hesaplamamızı sağlar. Teorem der ki: Eğer $f$ fonksiyonu $[a, b]$ aralığında sürekli ise ve $F$ fonksiyonu $f$'nin herhangi bir ters türevi (yani $F'(x) = f(x)$) ise, o zaman belirli integral şu şekilde hesaplanır:
- $ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $
- Burada $F(b)$, ters türev fonksiyonunun üst sınır ($b$) noktasındaki değerini; $F(a)$ ise ters türev fonksiyonunun alt sınır ($a$) noktasındaki değerini ifade eder. Bu, belirli integrali hesaplamak için önce fonksiyonun ters türevini bulup, ardından bu ters türevde üst sınırı yerine koyup, alt sınırı yerine koyduğumuz değeri çıkarmamız gerektiği anlamına gelir.
- Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) $ f(b) - f(a) $: Bu ifade, fonksiyonun kendisinin üst ve alt sınırlardaki değerlerinin farkıdır. Belirli integralin temel teoremi bu şekilde tanımlanmaz.
- B) $ F(a) - F(b) $: Bu ifade, $F(b) - F(a)$'nın ters işaretlisidir. Doğru formül $F(b) - F(a)$ olduğundan, bu seçenek yanlıştır.
- C) $ F(b) - F(a) $, burada $ F $ fonksiyonu $ f $'nin bir ters türevidir: Bu ifade, belirli integralin temel teoreminin tam olarak doğru tanımıdır. $F$ fonksiyonu, $f$'nin ters türevi (veya ilkel fonksiyonu) olduğunda, belirli integralin değeri $F(b) - F(a)$ olarak bulunur.
- D) $ f(a) + f(b) $: Bu ifade, fonksiyonun kendisinin üst ve alt sınırlardaki değerlerinin toplamıdır. Bu da belirli integralin temel teoremi ile ilgili değildir.
Bu açıklamalar ışığında, belirli integralin temel teoreminin doğru ifadesinin C seçeneğinde verildiği açıktır.
Cevap C seçeneğidir.
