9. Sınıf Tabanları Aynı Olan Üslü Gösterimlerle Çarpma ve Bölme İşlemi Nasıl Yapılır? Örnek Sorular Test 2

\( a^m \cdot a^n = a^{10} \) ve \( a^m \div a^n = a^4 \) olduğuna göre, m kaçtır?

A) 3
B) 5
C) 7
D) 14

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda üslü sayılarla ilgili temel kuralları kullanarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemini çözmemiz gerekiyor. Adım adım ilerleyelim ve bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Adım: Üslü Sayı Kurallarını Hatırlayalım

  Üslü sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinin kurallarını hatırlayalım:

  • Tabanlar aynı olduğunda üslü ifadeler çarpılırken, üsler toplanır: $ a^x \cdot a^y = a^{x+y} $
  • Tabanlar aynı olduğunda üslü ifadeler bölünürken, üsler çıkarılır: $ a^x \div a^y = a^{x-y} $
• 2. Adım: Verilen Denklemleri Üslü Sayı Kurallarına Göre Yeniden Yazalım

  Soruda bize iki bilgi verilmişti:

  1. $ a^m \cdot a^n = a^{10} $
  2. $ a^m \div a^n = a^4 $

  Şimdi bu bilgileri üslü sayı kurallarını kullanarak daha basit denklemlere dönüştürelim:

  • Birinci ifadeye göre: $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $. Bu durumda, $ a^{m+n} = a^{10} $ olur. Tabanlar aynı olduğu için üsler de eşit olmalıdır. Yani, $ m+n = 10 $ (Bu bizim 1. Denklemimiz olsun).
  • İkinci ifadeye göre: $ a^m \div a^n = a^{m-n} $. Bu durumda, $ a^{m-n} = a^4 $ olur. Yine tabanlar aynı olduğu için üsler de eşit olmalıdır. Yani, $ m-n = 4 $ (Bu da bizim 2. Denklemimiz olsun).
• 3. Adım: Denklem Sistemini Çözelim

  Şimdi elimizde iki bilinmeyenli (m ve n) iki denklem var:

  1. Denklem: $ m+n = 10 $

  2. Denklem: $ m-n = 4 $

  Bu tür denklem sistemlerini çözmek için farklı yöntemler kullanabiliriz. En kolay yollardan biri, denklemleri taraf tarafa toplamaktır. Bu sayede $n$ değişkeni birbirini götürecektir:

  $ (m+n) + (m-n) = 10 + 4 $

  $ m+n+m-n = 14 $

  $ 2m = 14 $

• 4. Adım: m Değerini Bulalım

  Son olarak, $ 2m = 14 $ denklemini çözerek $m$ değerini bulalım:

  $ m = \frac{14}{2} $

  $ m = 7 $

• 5. Adım: Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı ama Faydalı)

  Bulduğumuz $m=7$ değerini denklemlerden birine yazarak $n$ değerini de bulabiliriz. Örneğin, 1. denklemi kullanalım:

  $ m+n = 10 $

  $ 7+n = 10 $

  $ n = 10-7 $

  $ n = 3 $

  Şimdi bu $m=7$ ve $n=3$ değerlerini 2. denklemde yerine koyarak sağlamasını yapalım:

  $ m-n = 4 $

  $ 7-3 = 4 $

  $ 4 = 4 $

  Gördüğümüz gibi, değerlerimiz doğru çıktı!

Böylece $m$ değerini $7$ olarak bulduk.

Cevap C seçeneğidir.