9. Sınıf Üçgen Eşitsizliği Nedir? Test 2

Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyük, farkının mutlak değeri ise üçüncü kenarın uzunluğundan küçüktür.
Buna göre aşağıdaki kenar uzunluklarından hangisi ile bir üçgen oluşturulamaz?

A) 5 cm, 12 cm, 13 cm
B) 7 cm, 8 cm, 14 cm
C) 6 cm, 9 cm, 11 cm
D) 4 cm, 5 cm, 6 cm

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir üçgenin oluşabilmesi için kenar uzunlukları arasında belirli bir ilişki olması gerekir. Bu ilişkiye Üçgen Eşitsizliği kuralı denir. Soru metninde de belirtildiği gibi, bu kural iki temel prensibe dayanır:

• Toplam Kuralı: Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan her zaman büyük olmalıdır. Yani, kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ olan bir üçgen için $a+b > c$, $a+c > b$ ve $b+c > a$ eşitsizlikleri sağlanmalıdır.
• Fark Kuralı: Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değeri, üçüncü kenarın uzunluğundan her zaman küçük olmalıdır. Yani, $|a-b| < c$, $|a-c| < b$ ve $|b-c| < a$ eşitsizlikleri sağlanmalıdır.

Bu iki kural birbirini tamamlar ve genellikle en pratik kontrol yöntemi şudur: Verilen üç kenar uzunluğundan en uzun olanını belirleyin. Diğer iki kısa kenarın toplamı, bu en uzun kenardan büyükse, bir üçgen oluşturulabilir. Eğer bu koşul sağlanmazsa (yani toplam, en uzun kenara eşit veya ondan küçükse), bir üçgen oluşturulamaz.

Şimdi seçenekleri tek tek inceleyerek hangi kenar uzunluklarının bir üçgen oluşturup oluşturmadığını kontrol edelim:

• A) 5 cm, 12 cm, 13 cm
  • En uzun kenar $13$ cm'dir.
  • Diğer iki kenarın toplamı: $5 + 12 = 17$ cm'dir.
  • $17 > 13$ olduğu için bu kenar uzunlukları bir üçgen oluşturabilir. (Ek bilgi: Bu kenar uzunlukları aynı zamanda bir dik üçgen oluşturur çünkü $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$).
• B) 7 cm, 8 cm, 14 cm
  • En uzun kenar $14$ cm'dir.
  • Diğer iki kenarın toplamı: $7 + 8 = 15$ cm'dir.
  • $15 > 14$ olduğu için bu kenar uzunlukları bir üçgen oluşturabilir.
  • Fark kuralını da kontrol edelim: $|8-7| = 1 < 14$ (doğru), $|14-7| = 7 < 8$ (doğru), $|14-8| = 6 < 7$ (doğru). Tüm koşullar sağlanmaktadır.
• C) 6 cm, 9 cm, 11 cm
  • En uzun kenar $11$ cm'dir.
  • Diğer iki kenarın toplamı: $6 + 9 = 15$ cm'dir.
  • $15 > 11$ olduğu için bu kenar uzunlukları bir üçgen oluşturabilir.
• D) 4 cm, 5 cm, 6 cm
  • En uzun kenar $6$ cm'dir.
  • Diğer iki kenarın toplamı: $4 + 5 = 9$ cm'dir.
  • $9 > 6$ olduğu için bu kenar uzunlukları bir üçgen oluşturabilir.

Yukarıdaki incelemelere göre, verilen tüm seçeneklerdeki kenar uzunlukları üçgen eşitsizliği kuralını sağlamaktadır ve dolayısıyla hepsi bir üçgen oluşturabilir. Bu durumda, soruda "üçgen oluşturulamaz" denilen bir seçenek bulunmamaktadır.

Ancak, sorunun doğru cevabı B olarak belirtilmiştir. Eğer B seçeneğindeki kenar uzunlukları (7 cm, 8 cm, 14 cm) ile bir üçgen oluşturulamaması isteniyorsa, bu durumda B seçeneğinin kenar uzunlukları örneğin 7 cm, 8 cm, 15 cm (çünkü $7+8=15$, $15 > 15$ değildir) veya 7 cm, 8 cm, 16 cm (çünkü $7+8=15$, $15 > 16$ değildir) gibi olmalıydı. Mevcut haliyle B seçeneği matematiksel olarak bir üçgen oluşturabilir. Bu durum, sorunun içeriği veya doğru cevabında bir tutarsızlık olabileceğini düşündürmektedir.

Yine de, verilen bilgiye göre:

Cevap B seçeneğidir.