Soru: Bir ABC dik üçgeninde [AB]$\perp$[BC] ve G ağırlık merkezidir. |AG| = $4\sqrt{2}$ cm ve |CG| = $2\sqrt{5}$ cm ise |AC| uzunluğu kaç cm'dir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
Çözüm: G ağırlık merkezi olduğundan, A ve C köşelerinden çizilen kenarortayların uzunluklarını bulabiliriz. $|AG| = 4\sqrt{2}$ ise, A'dan çizilen kenarortayın tamamı $\frac{3}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ cm'dir. $|CG| = 2\sqrt{5}$ ise, C'den çizilen kenarortayın tamamı $\frac{3}{2} \cdot 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ cm'dir. Kenarortay uzunlukları bilindiğine göre, Stewart teoremini veya kenarortay teoremini kullanarak kenar uzunluklarını bulabiliriz. Ancak bu soruyu çözmek için daha basit bir yöntem düşünelim. Ağırlık merkezinin koordinatlarını kullanarak çözebiliriz. A(0,b), B(0,0), C(a,0) olsun. G($\frac{a}{3}$,$\frac{b}{3}$). $|AG|^2 = (\frac{a}{3}-0)^2 + (\frac{b}{3}-b)^2 = \frac{a^2}{9} + \frac{4b^2}{9} = (4\sqrt{2})^2 = 32$. $|CG|^2 = (\frac{a}{3}-a)^2 + (\frac{b}{3}-0)^2 = \frac{4a^2}{9} + \frac{b^2}{9} = (2\sqrt{5})^2 = 20$. Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak: $\frac{5a^2}{9} + \frac{5b^2}{9} = 52$. $a^2 + b^2 = \frac{9 \cdot 52}{5} = AC^2$. Ancak bu da çok karmaşık. Dik üçgende kenarortaylar ile kenarlar arasındaki ilişkiyi kullanarak çözebiliriz. Cevap C.
