Soru:
9. sınıfa yeni başlayan Elif, okulda derslere odaklanmakta zorlanmaktadır. Bir hafta boyunca, bir derste ortalama kaç dakika odaklanabildiğini not etmiştir:
- Pazartesi: 25 dakika
- Salı: 30 dakika
- Çarşamba: 20 dakika
- Perşembe: 35 dakika
- Cuma: 40 dakika
Elif, hedef olarak bir dersteki ortalama odaklanma süresini haftalık 45 dakikaya çıkarmak istemektedir. Gelecek hafta, not tuttuğu günlerdeki odaklanma sürelerini, bir önceki haftaya göre her gün için eşit miktarda artırarak bu hedefe ulaşmak istiyor. Buna göre, Elif'in Pazartesi günkü odaklanma süresi kaç dakika olmalıdır?
Çözüm:
💡 Bu problem bir aritmetik dizi sorusudur. Haftanın 5 günü, artış miktarı sabit olacak şekilde bir dizi oluşturur.
- ➡️ Adım 1: Değişkenleri Tanımla
Pazartesi günkü odaklanma süresine \( a_1 \) diyelim. Her günkü artış miktarı \( d \) olsun. Buna göre dizimiz: \( a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, a_1 + 4d \)
- ➡️ Adım 2: Ortalama Denklemini Kur
Beş günlük toplam odaklanma süresi: \( 5a_1 + (0+1+2+3+4)d = 5a_1 + 10d \)
Ortalama ise: \( \frac{5a_1 + 10d}{5} = a_1 + 2d \)
Bu ortalamanın 45'e eşit olması isteniyor: \( a_1 + 2d = 45 \) (1. Denklem)
- ➡️ Adım 3: Toplam Artış İlişkisini Kur
İlk haftanın ortalaması: \( \frac{25+30+20+35+40}{5} = \frac{150}{5} = 30 \) dakika.
Ortalama 30'dan 45'e çıkacak, yani toplamda 15 dakika artacak. Bu artış 5 güne yayıldığı için her gün için ortalama artış \( \frac{15}{5} = 3 \) dakikadır. Bu, bizim artış miktarımız \( d \)'ye eşittir. Yani \( d = 3 \).
- ➡️ Adım 4: \( a_1 \)'i Hesapla
\( d = 3 \) değerini 1. Denklemde yerine koyalım: \( a_1 + 2(3) = 45 \) → \( a_1 + 6 = 45 \) → \( a_1 = 39 \).
✅ Sonuç: Elif'in hedefine ulaşması için Pazartesi günkü odaklanma süresi 39 dakika olmalıdır.
