Soru:
Bir kutudaki bilyeler 5'erli sayıldığında 2 bilye, 7'şerli sayıldığında 4 bilye artıyor. Kutudaki bilye sayısı 50'den fazla olduğuna göre, en az kaç bilye vardır?
Çözüm:
💡 Bu problemi modüler aritmetik ile çözelim.
- ➡️ Bilye sayısı B olsun.
- ➡️ \(B = 5a + 2\) ve \(B = 7b + 4\) (a ve b pozitif tam sayılar)
- ➡️ İki ifadeyi eşitleyelim: \(5a + 2 = 7b + 4\) → \(5a - 7b = 2\)
- ➡️ Denklemi çözelim: \(a = 5\), \(b = 3\) için \(5(5) - 7(3) = 25 - 21 = 4\) (olmadı)
- ➡️ \(a = 6\), \(b = 4\) için \(5(6) - 7(4) = 30 - 28 = 2\) (tamam!)
- ➡️ \(B = 5(6) + 2 = 32\) ama bu 50'den küçük
- ➡️ EKOK(5,7) = 35 olduğundan, 32'ye 35'in katlarını ekleyelim
- ➡️ \(32 + 35 = 67\) (50'den büyük ilk sayı)
✅ Sonuç: Kutuda en az 67 bilye vardır.
