Soru:
Bir sepetteki elmalar dörder dörder sayıldığında 3, beşer beşer sayıldığında 2 elma artıyor. Sepette 50'den fazla elma olduğu bilindiğine göre, sepette en az kaç elma vardır?
Çözüm:
💡 Bu problem, bir sayının belirli bölenlere göre kalanını verdiği için modüler aritmetik veya denklem kurma ile çözülür.
- ➡️ 1. Adım: Elma sayısına \( E \) diyelim. Verilenlere göre: \( E = 4a + 3 \) ve \( E = 5b + 2 \) (a ve b birer tam sayı).
- ➡️ 2. Adım: İki ifadeyi birbirine eşitleyemeyiz çünkü a ve b farklı. Bunun yerine, \( E + 1 \) sayısını düşünelim. \( E + 1 = 4a + 4 = 4(a+1) \) ve \( E + 1 = 5b + 3 \) olmaz. Farklı bir yol izleyelim.
- ➡️ 3. Adım: \( E - 3 \) sayısı 4'ün tam katıdır. \( E - 2 \) sayısı ise 5'in tam katıdır. \( E \) sayısının hem 4'e bölümünden kalan 3, hem de 5'e bölümünden kalan 2'dir. Yani \( E + 1 \) sayısı hem 4'ün hem de 5'in tam katı olmalıdır. Çünkü \( E+1 \), 4'e bölündüğünde kalan 0 (3+1=4), 5'e bölündüğünde kalan 0 (2+1=3 değil, 2+3=5? Hayır, kontrol edelim: E=4a+3 ise E+1=4a+4 (4'ün katı). E=5b+2 ise E+3=5b+5 (5'in katı). Yanlış yol. Doğrusu: E=4a+3 ve E=5b+2 ise, E'nin 20'nin katından farklı bir sayı olması gerek. 20'ye bölümünden kalanı bulalım.
- ➡️ 4. Adım: 20'ye bölümünden kalanı \( r \) olan bir sayı hem 4'e hem 5'e bölünürken aynı kalanı vermeli. 4'e bölümünden kalan 3 olan sayılar: 3, 7, 11, 15, 19. 5'e bölümünden kalan 2 olan sayılar: 2, 7, 12, 17. İki listede ortak olan sayı 7'dir. Demek ki E, 20'ye bölündüğünde 7 kalanını verir. Yani \( E = 20k + 7 \).
- ➡️ 5. Adım: E > 50 olduğuna göre, k'ya değer verelim. k=2 için E=20*2+7=47 (50'den az). k=3 için E=20*3+7=60+7=67.
✅ Sonuç: Sepette en az 67 elma vardır.
