Soru:
Yarıçapı 5 cm olan bir kürenin içine, hacmi maksimum olacak şekilde bir dik dairesel koni yerleştiriliyor. Bu koninin yüksekliği kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 Kürenin merkezinden koninin tabanına ve tepe noktasına olan mesafeleri kullanarak bir ilişki kuracağız ve türevle maksimum hacmi bulacağız.
- ➡️ Koninin tepe noktası ve taban dairesi küre yüzeyi üzerindedir. Kürenin merkezini O, koninin tepe noktasını T, taban merkezini B olarak alalım. |OT| = |OB| = R = 5 cm (kürenin yarıçapı). Koninin yüksekliği h = |TB| olsun.
- ➡️ |OB| = h - R? Hayır, dikkat! Koninin tepe noktası ve tabanı küre yüzeyinde ise, O noktası TB doğru parçası üzerinde olmak zorunda değildir. Koninin simetri ekseni kürenin bir çapı üzerindedir. T ve B noktaları küre yüzeyinde olduğundan, |OT| = |OB| = R = 5'tir. TB = h'dir. O'dan TB'ye inilen dikmenin ayağı M olsun. |TM| = x dersek, |MB| = h - x olur.
- ➡️ Pisagor teoreminden: |OM|² = R² - (h - x)² ve aynı zamanda |OM|² = R² - x². Buradan R² - (h - x)² = R² - x² → (h - x)² = x² → h² - 2hx + x² = x² → h² - 2hx = 0 → h(h - 2x) = 0 → x = h/2 (h≠0).
- ➡️ Koninin taban yarıçapı (r): \(r^2 = R^2 - (h - x)^2 = R^2 - (h - h/2)^2 = R^2 - (h/2)^2 = 25 - h²/4\).
- ➡️ Koninin hacmi: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (25 - \frac{h^2}{4}) h = \frac{\pi}{3}(25h - \frac{h^3}{4})\).
- ➡️ Hacmi maksimum yapan h değeri için türev alıp sıfıra eşitleriz: \(V'(h) = \frac{\pi}{3}(25 - \frac{3h^2}{4}) = 0\)
- ➡️ \(25 - \frac{3h^2}{4} = 0\) → \(\frac{3h^2}{4} = 25\) → \(3h^2 = 100\) → \(h^2 = \frac{100}{3}\) → \(h = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\) cm.
✅ Sonuç: \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\) cm
