Soru:
Yüksek enerji fiziğinde, bir parçacık hızlandırıcıda, durgun kütlesi \( m_e = 0.511 \, \text{MeV/c}^2 \) olan bir elektron, toplam enerjisi \( E = 10.0 \, \text{GeV} \)'e kadar hızlandırılıyor. Bu elektronun hızı, ışık hızının (\( c \)) kaç katıdır? (Göreli enerji-momentum ilişkisi: \( E^2 = (pc)^2 + (m_ec^2)^2 \))
Çözüm:
💡 Bu problemde, elektronun göreli hızını bulmak için önce momentumunu (\( p \)), ardından Lorentz faktörünü (\( \gamma \)) ve son olarak hızını (\( v \)) bulmamız gerekiyor.
- ➡️ Adım 1: Göreli enerji-momentum ilişkisinden momentumu (\( p \)) bulalım. \( E^2 = (pc)^2 + (m_ec^2)^2 \) formülünü \( pc \) için çözelim.
\( (pc)^2 = E^2 - (m_ec^2)^2 \)
\( pc = \sqrt{(10.0 \times 10^3 \, \text{MeV})^2 - (0.511 \, \text{MeV})^2} \approx \sqrt{1.00 \times 10^8 \, \text{MeV}^2} = 1.000 \times 10^4 \, \text{MeV} \)
\( m_ec^2 \), \( E \)'nin yanında ihmal edilebilecek kadar küçüktür.
- ➡️ Adım 2: Toplam enerji \( E = \gamma m_ec^2 \) formülü ile de ifade edilir. Buradan Lorentz faktörünü (\( \gamma \)) bulalım.
\( \gamma = \frac{E}{m_ec^2} = \frac{10000 \, \text{MeV}}{0.511 \, \text{MeV}} \approx 19570 \)
- ➡️ Adım 3: Lorentz faktörü \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \) formülüne göre hızla ilişkilidir. Bu formülü \( v/c \) için çözelim.
\( \frac{1}{\gamma^2} = 1 - \frac{v^2}{c^2} \)
\( \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2} = 1 - \frac{1}{(19570)^2} \approx 1 - 2.61 \times 10^{-9} \)
\( \frac{v}{c} = \sqrt{1 - 2.61 \times 10^{-9}} \approx 1 - 1.305 \times 10^{-9} \) (Binom açılımı kullanılarak)
✅ Sonuç: Elektronun hızı, ışık hızına inanılmaz derecede yakındır. \( v \approx (1 - 1.31 \times 10^{-9})c \). Bu, yüksek enerji fiziğinde parçacıkların ne denli yüksek hızlara çıkarılabildiğinin bir göstergesidir.
