Soru:
Bir sayının 3 katının 7 eksiğinin karesi, aynı sayının 5 fazlasının 2 katına eşittir. Bu sayıyı bulmak için kurulacak denklemi yazınız ve cebirsel olarak çözünüz.
Çözüm:
💡 İstenen sayıya \( x \) diyelim ve problemi adım adım denkleme çevirelim.
- ➡️ Sayının 3 katının 7 eksiği: \( 3x - 7 \)
- ➡️ Bunun karesi: \( (3x - 7)^2 \)
- ➡️ Sayının 5 fazlasının 2 katı: \( 2(x + 5) \)
- ➡️ Denklem: \( (3x - 7)^2 = 2(x + 5) \)
- ➡️ Şimdi çözelim. Önce sol tarafı açalım: \( (3x - 7)^2 = 9x^2 - 42x + 49 \). Denklem: \( 9x^2 - 42x + 49 = 2x + 10 \)
- ➡️ Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( 9x^2 - 42x + 49 - 2x - 10 = 0 \) → \( 9x^2 - 44x + 39 = 0 \)
- ➡️ İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları \( 9 \times 39 = 351 \), toplamları -44 olan iki sayı -27 ve -17'dir. Denklem: \( 9x^2 - 27x - 17x + 39 = 0 \) → \( 9x(x - 3) - 17(x - 3) = 0 \) → \( (x - 3)(9x - 17) = 0 \)
- ➡️ Buradan, \( x - 3 = 0 \) → \( x = 3 \) veya \( 9x - 17 = 0 \) → \( x = \frac{17}{9} \)
✅ Denklemin çözüm kümesi \( \left\{3, \frac{17}{9}\right\} \)'dir.
