Soru:
\( a \otimes b = 2a + 2b - ab \) şeklinde tanımlanan \(\otimes\) işleminin birim elemanını bulunuz. Bulduğunuz birim elemanı kullanarak, 4'ün bu işleme göre ters elemanını hesaplayınız.
Çözüm:
🚀 Yeni bir işlem verildiğinde, birim elemanı (\( e \)) bulmak için \( a \otimes e = a \) denklemini çözeriz. Daha sonra bir \( x \) elemanının tersi (\( x^{-1} \)), \( x \otimes x^{-1} = e \) denklemini sağlayan elemandır.
- ➡️ Birim Elemanı (\( e \)) Bulma:
- Birim elemanın tanımı gereği: \( a \otimes e = a \) olmalıdır.
- İşlemin tanımını yazalım: \( 2a + 2e - a \cdot e = a \)
- Denklemi düzenleyelim: \( 2a + 2e - ae = a \)
- \( 2e - ae = a - 2a \)
- \( e(2 - a) = -a \)
- Bu denklem her \( a \) değeri için sağlanmalıdır. \( a \) yerine özel bir değer vererek \( e \)'yi bulabiliriz. En kolayı \( a=2 \) vermektir.
- \( a=2 \) için: \( 2 \otimes e = 2(2) + 2e - (2)(e) = 4 + 2e - 2e = 4 \). Bu sonucun 2'ye eşit olmasını bekliyorduk (\( a \otimes e = a \)). Yani \( 4 = 2 \) çelişkisi oluştu. Bu, \( a=2 \) için birim eleman olmadığını gösterir. Farklı bir yol izleyelim.
- Denklemi \( e \) cinsinden çözelim: \( e(2 - a) = -a \) => \( e = \frac{-a}{2 - a} \). Bu ifade \( a \)'ya bağlı olduğu için sabit bir \( e \) değeri yoktur gibi görünüyor. Hata yaptık. Birim eleman HER a için aynı olmalı. Denklemi tekrar kuralım: \( a \otimes e = a \) => \( 2a + 2e - ae = a \) => \( a + 2e - ae = 0 \) => \( a(1 - e) + 2e = 0 \). Bu ifadenin her a için sıfır olması için, a'nın katsayısı 0 ve sabit terim 0 olmalı.
- \( 1 - e = 0 \) => \( e = 1 \)**
- Sabit terim için kontrol: \( 2e = 2(1) = 2 \), bu 0 değil! Demek ki birim eleman yok? Başka bir yöntem deneyelim. \( e \otimes a = a \) denklemini de çözmeliyiz, işlem değişmeli olmayabilir. Veya doğrudan \( a \otimes e = a \) ve \( e \otimes a = a \) denklemlerini ayrı ayrı çözelim.
- \( a \otimes e = a \)** denklemi: \( 2a + 2e - a e = a \) => \( a + 2e - a e = 0 \) (1)
- \( e \otimes a = a \)** denklemi: \( 2e + 2a - e a = a \) => \( 2e + a - e a = 0 \) (2)
- (1) ve (2) denklemlerini taraf tarafa çıkaralım: (1) - (2) => \( (a + 2e - ae) - (2e + a - ae) = 0 - 0 \) => \( 0 = 0 \). Bu bir sonuç vermez.
- İki denklemi eşitlersek: \( a + 2e - ae = 2e + a - ae \) => \( 0=0 \). Yine sonuç yok.
- O halde \( a \)'ya özel değerler verelim. \( a=0 \) için denklem (1): \( 0 + 2e - 0 = 0 \) => \( 2e = 0 \) => \( e = 0 \).
- Şimdi \( e=0 \) değerini deneyelim. \( a \otimes 0 = 2a + 2(0) - a(0) = 2a \). Bu sonucun \( a \)'ya eşit olması için \( 2a = a \) => \( a=0 \) olmalı, bu da her a için geçerli değil. Yani \( e=0 \) birim eleman değil.
- Bu işlemin bir birim elemanı yoktur. Birim eleman olmadığı için ters elemandan da bahsedemeyiz.
✅ Bu \(\otimes\) işleminin bir birim elemanı bulunmamaktadır. Dolayısıyla, 4'ün bu işleme göre bir ters elemanı da yoktur.
