Soru:
Bir protonun toplam bağıl enerjisi \( 2.7 \times 10^{-10} \) Joule'dür. Protonun durgun kütlesi \( 1.67 \times 10^{-27} \) kg olduğuna göre, hareket ettiği hızı (\(v\)) bulunuz. (\( c = 3 \times 10^8 \) m/s)
Çözüm:
💡 Toplam enerji \( E = \gamma m_0 c^2 \) formülünden yola çıkarak \( \gamma \) ve dolayısıyla \( v \) bulunabilir.
- ➡️ İlk adım: \( \gamma \) faktörünü bulalım.
\( E = \gamma m_0 c^2 \)
\( 2.7 \times 10^{-10} = \gamma \times (1.67 \times 10^{-27}) \times (9 \times 10^{16}) \)
\( 2.7 \times 10^{-10} = \gamma \times 15.03 \times 10^{-11} \)
\( 2.7 \times 10^{-10} = \gamma \times 1.503 \times 10^{-10} \)
\( \gamma = \frac{2.7 \times 10^{-10}}{1.503 \times 10^{-10}} \approx 1.796 \)
- ➡️ İkinci adım: \( \gamma \)'dan hızı (\(v\)) bulalım.
\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)
\( \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma} = \frac{1}{1.796} \approx 0.5568 \)
Her iki tarafın karesini alalım:
\( 1 - \frac{v^2}{c^2} = (0.5568)^2 \approx 0.3100 \)
\( \frac{v^2}{c^2} = 1 - 0.3100 = 0.69 \)
\( \frac{v}{c} = \sqrt{0.69} \approx 0.8307 \)
\( v \approx 0.8307 \times 3 \times 10^8 \approx 2.492 \times 10^8 \) m/s
✅ Sonuç: Protonun hızı yaklaşık \( 2.49 \times 10^8 \) m/s'dir.
