Soru:
Durgun kütlesi \( m_0 \) olan bir parçacığın kinetik enerjisi, durgun enerjisinin 3 katına eşittir (\( E_k = 3E_0 \)). Buna göre bu parçacığın hızının ışık hızına oranını (\( \frac{v}{c} \)) bulunuz.
Çözüm:
💡 Kinetik enerji, toplam enerji ile durgun enerjinin farkıdır: \( E_k = E - E_0 \). Ayrıca \( E = \gamma E_0 \) olduğunu biliyoruz.
- ➡️ İlk adım: Verilenleri formülde yerine koyalım.
\( E_k = 3E_0 \)
\( E - E_0 = 3E_0 \)
\( E = 4E_0 \)
- ➡️ İkinci adım: \( E = \gamma E_0 \) olduğundan:
\( \gamma E_0 = 4E_0 \)
\( \gamma = 4 \)
- ➡️ Üçüncü adım: \( \gamma \)'dan hız oranını bulalım.
\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \) burada \( \beta = \frac{v}{c} \)
\( 4 = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \)
\( \sqrt{1 - \beta^2} = \frac{1}{4} \)
Her iki tarafın karesini alalım:
\( 1 - \beta^2 = \frac{1}{16} \)
\( \beta^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \)
\( \beta = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \)
✅ Sonuç: Parçacığın hızının ışık hızına oranı \( \frac{\sqrt{15}}{4} \)'tür.
